Cho phương trình \log_{\frac{1}{2}} (2x - m) + \log_2 (3 - x) = 0 , m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình có nghiệm?

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Phương trình:

  $\log_{\frac{1}{2}} (2x-m)+\log_2 (3-x)=0.$

• $m$
  là tham số cần xét các giá trị nguyên dương.

• Yêu cầu: Tìm số lượng giá trị nguyên dương của

  $m$
  để phương trình có nghiệm.

❓ Hiểu câu hỏi:

• Sử dụng tính chất của logarit với cơ số nghịch đảo:

  $\log_{\frac{1}{2}} y = -\log_2 y.$

• Sau đó, chuyển phương trình về dạng logarit cùng cơ số và giải bằng cách so sánh đối số.

• Đồng thời, cần xét điều kiện xác định của logarit:

  $2x-m>0 \quad \text{và} \quad 3-x>0.$

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Biến đổi phương trình:

  $\log_{\frac{1}{2}} (2x-m)+\log_2 (3-x)=0 \quad \Longrightarrow \quad -\log_2 (2x-m)+\log_2 (3-x)=0.$

• Viết lại:

  $\log_2 (3-x)=\log_2 (2x-m).$

• Do logarit hàm số đơn điệu, suy ra:

  $3-x=2x-m \quad \Longrightarrow \quad 3x = m+3,$
  $\Longrightarrow \quad x=\frac{m+3}{3}.$

• Điều kiện xác định của logarit:

  $2x-m>0 \quad \Rightarrow \quad 2\left(\frac{m+3}{3}\right)-m=\frac{6-m}{3}>0 \quad \Longrightarrow \quad m<6,$
  $3-x>0 \quad \Rightarrow \quad 3-\frac{m+3}{3}=\frac{6-m}{3}>0 \quad \Longrightarrow \quad m<6.$

• Vì

  $m$
  là số nguyên dương nên các giá trị khả thi là:
  $m\in \{1,2,3,4,5\}.$

• Vậy có 5 giá trị nguyên dương của

  $m$
  để phương trình có nghiệm.

✅ Đáp án: 5.