Tìm hệ số của x^4 trong khai triển P(x) = (1 - x - 3x^3)^n với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức C_{n}^{n-2} + 6n + 5 = A_{n+1}^{2}

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Cho khai triển

  $P(x) = (1 - x - 3x^3)^{n}$
  .

• Số mũ

  $n$
  là số tự nhiên thỏa mãn phương trình
  $C_n^{n-2} + 6n + 5 = A_{n+1}^{2}$
  với
  $C_n^{n-2} = \binom{n}{n-2} = \binom{n}{2}$
  và
  $A_{n+1}^{2} = n(n+1).$

• Yêu cầu tìm hệ số của

  $x^4$
  trong khai triển khi tìm được giá trị của
  $n$
  .

❓ Hiểu câu hỏi:

• Đầu tiên, xác định giá trị của

  $n$
  từ phương trình
  $\frac{n(n-1)}{2} + 6n + 5 = n(n+1).$

• Sau đó, tìm hệ số của

  $x^4$
  trong khai triển của
  $P(x) = (1 - x - 3x^3)^{10}$
  (vì giá trị duy nhất thỏa mãn là
  $n = 10$
  ).

• Ứng dụng đa thức nhiều ẩn (hình thức chọn 1,

  $-x$
  , và
  $-3x^3$
  từ mỗi nhân tử) sao cho tổng số mũ của
  $x$
  bằng
  $4$
  .

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Bước 1: Tìm giá trị của

  $n$
  .

• Phương trình:

  $\frac{n(n-1)}{2} + 6n + 5 = n(n+1).$

• Nhân cả hai vế với

  $2$
  :
  $n(n-1) + 12n + 10 = 2n(n+1).$

• Rút gọn:

  $n^2 - n + 12n + 10 = 2n^2 + 2n$
  $n^2 + 11n + 10 = 2n^2 + 2n$
  $0 = n^2 - 9n - 10.$

• Giải phương trình bậc hai:

  $n = \frac{9 \pm \sqrt{81+40}}{2} = \frac{9 \pm 11}{2}.$
  Chọn
  $n = 10$
  (vì
  $n$
  là số tự nhiên).

• Bước 2: Tìm hệ số của

  $x^4$
  trong khai triển
  $P(x) = (1 - x - 3x^3)^{10}$
  .

• Xét các nhân tử của khai triển, ta chọn từ mỗi nhân tử một trong 3 số hạng:

  $1,\quad -x,\quad -3x^3.$

• Gọi số lần chọn các số hạng tương ứng là:

  $k$
  cho
  $1$
  ,
  $l$
  cho
  $-x$
  ,
  $m$
  cho
  $-3x^3$
  , sao cho
  $k+l+m=10$
  và tổng số mũ của
  $x$
  là
  $l+3m=4.$

• Tìm các bộ số nguyên không âm thỏa mãn:

• Nếu

  $m=0 \Rightarrow l=4,\quad k=10-4=6.$

• Nếu

  $m=1 \Rightarrow l+3=4 \Rightarrow l=1,\quad k=10-1-1=8.$

• Với

  $m\ge2$
  , ta có
  $l<0$
  (loại).

• Bước 3: Tính hệ số đóng góp từ từng trường hợp.

• Trường hợp 1:

  $k=6,\; l=4,\; m=0.$

• Hệ số:

  $\frac{10!}{6!4!0!} \cdot (1)^6 \cdot (-1)^4 \cdot (-3)^0 = \binom{10}{4} = 210.$

• Trường hợp 2:

  $k=8,\; l=1,\; m=1.$

• Hệ số:

  $\frac{10!}{8!1!1!} \cdot (1)^8 \cdot (-1)^1 \cdot (-3)^1.$

• Tính:

  $\frac{10!}{8!1!1!} = 10 \times 9 = 90,$
  $(-1)^1 \cdot (-3)^1 = 3.$

• Hệ số của trường hợp này là:

  $90 \times 3 = 270.$

• Bước 4: Tổng hợp các hệ số lại.

• Tổng hệ số của

  $x^4$
  :
  $210 + 270 = 480.$

✅ Đáp án: