Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;10] để hàm số y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + mx - 3 đồng biến trên (2;6)?

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Hàm số:

  $y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + mx - 3$

• Tham số:

  $m$
  thuộc đoạn
  $[-10;10]$

• Yêu cầu: Tìm số giá trị nguyên của

  $m$
  sao cho hàm số đồng biến trên khoảng
  $(2;6)$

❓ Hiểu câu hỏi:

• Đồng biến: Hàm số đồng biến trên một khoảng nếu đạo hàm của nó không âm trên khoảng đó.

• Vấn đề: Xác định những giá trị nguyên của

  $m$
  trong khoảng
  $[-10;10]$
  để đảm bảo
  $y' (x) \ge 0$
  với mọi
  $x \in (2;6)$
  .

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Xác định đạo hàm của hàm số:

  $y' (x) = \left(\frac{1}{3}x^3\right)' - (2x^2)' + (mx)' - (3)' = x^2 - 4x + m$
  .

• Vì

  $y' (x) = x^2 - 4x + m$
  là một hàm bậc hai với hệ số
  $a = 1 > 0$
  nên nó nhận giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của đồ thị.

• Tọa độ đỉnh của hàm số là:

  $x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$
  .

• Do đó, giá trị nhỏ nhất của

  $y' (x)$
  trên khoảng
  $[2;6]$
  xảy ra tại
  $x = 2$
  . Tính giá trị đạo hàm tại đó:
  $y'(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + m = 4 - 8 + m = m - 4$
  .

• Để hàm số đồng biến trên

  $(2;6)$
  thì cần có
  $y'(x) \ge 0$
  với mọi
  $x$
  trong khoảng đó, đặc biệt là tại điểm có giá trị nhỏ nhất:

• $m - 4 \ge 0$
  nên ta có
  $m \ge 4$
  .

• Vì

  $m$
  phải thuộc đoạn
  $[-10;10]$
  nên các giá trị nguyên thỏa mãn là:
  $m = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$
  , tổng cộng có
  $7$
  giá trị.

✅ Đáp án: