Đáp án và giải thích Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025

Câu 1

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

thuộc đoạn

[-10;10]

để hàm số

y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + mx - 3

đồng biến trên

(2;6)?

$4$

$5$

$7$

$6$

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

- Hàm số:

$y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + mx - 3$

- Tham số:

$m$

thuộc đoạn

$[-10;10]$

- Yêu cầu: Tìm số giá trị nguyên của

$m$

sao cho hàm số đồng biến trên khoảng

$(2;6)$

❓ Hiểu câu hỏi:

- Đồng biến: Hàm số đồng biến trên một khoảng nếu đạo hàm của nó không âm trên khoảng đó.

- Vấn đề: Xác định những giá trị nguyên của

$m$

trong khoảng

$[-10;10]$

để đảm bảo

$y' (x) \ge 0$

với mọi

$x \in (2;6)$

🔎 Hướng dẫn cách làm:

- Xác định đạo hàm của hàm số:

$y' (x) = \left(\frac{1}{3}x^3\right)' - (2x^2)' + (mx)' - (3)' = x^2 - 4x + m$

- Vì

$y' (x) = x^2 - 4x + m$

là một hàm bậc hai với hệ số

$a = 1 > 0$

nên nó nhận giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của đồ thị.

- Tọa độ đỉnh của hàm số là:

$x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$

- Do đó, giá trị nhỏ nhất của

$y' (x)$

trên khoảng

$[2;6]$

xảy ra tại

$x = 2$

. Tính giá trị đạo hàm tại đó:

$y'(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + m = 4 - 8 + m = m - 4$

- Để hàm số đồng biến trên

$(2;6)$

thì cần có

$y'(x) \ge 0$

với mọi

$x$

trong khoảng đó, đặc biệt là tại điểm có giá trị nhỏ nhất:

$m - 4 \ge 0$

nên ta có

$m \ge 4$

- Vì

$m$

phải thuộc đoạn

$[-10;10]$

nên các giá trị nguyên thỏa mãn là:

$m = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$

, tổng cộng có

$7$

giá trị.

✅ Đáp án:

$7$