Đáp án và giải thích Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025

Câu 1

Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình

x = 2\cos\left(5t - \frac{\pi}{6}\right)

, ở đây thời gian

tính bằng giây và quãng đường

tính bằng centimet. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần (nhập đáp án vào ô trống)?

$9$

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

- Vật dao động điều hòa theo phương trình

$x = 2\cos\left(5t - \frac{\pi}{6}\right)$

- Thời gian

$t$

tính bằng giây, quãng đường

$x$

tính bằng centimet.

- Xác định số lần vật đi qua vị trí cân bằng (nghĩa là

$x=0$

) trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây.

❓ Hiểu câu hỏi:

- Cần xác định số lần vật đi qua vị trí cân bằng tức là tìm số giá trị của

$t$

trong khoảng

$[0,6]$

sao cho

$x=0$

- Sử dụng tính chất của hàm cosin để giải phương trình

$2\cos\left(5t - \frac{\pi}{6}\right)=0$

🔎 Hướng dẫn cách làm:

- Đặt

$x = 0$

dẫn đến phương trình:

$\cos\left(5t - \frac{\pi}{6}\right)= 0$

- Biết rằng hàm

$\cos \theta = 0$

khi

$\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi$

với

$k$

là số nguyên.

- Do đó, ta có:

$5t - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi$

- Giải phương trình theo

$t$

$5t = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + k\pi = \frac{2\pi}{3} + k\pi$

$t = \frac{1}{5}\left(\frac{2\pi}{3} + k\pi\right)$

- Tìm tất cả các giá trị của

$k$

sao cho

$t$

nằm trong khoảng

$[0,6]$

- Với

$k = 0, 1, 2, \ldots$

, ta tính được các giá trị:

$k = 0: t = \frac{2\pi}{15}$

(≈0.42 giây)

$k = 1: t = \frac{2\pi}{15} + \frac{\pi}{5}$

(≈1.05 giây)

$k = 2: t = \frac{1}{5}\left(\frac{2\pi}{3}+2\pi\right)$

(≈1.68 giây)

$\ldots$

- Xét cho đến khi

$t > 6$

- Xác định số nghiệm thỏa mãn trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây.

✅ Đáp án:

$9$