Một nhóm bạn đi Picnic muốn cắm trại qua đêm. Biết trại của họ là một hình chóp tam giác đỉnh S cách đều các trại A,B,C một đoạn bằng 3m và AB=2m. Nhóm muốn cắm trại sao cho thể tích của trại là lớn nhất cho không gian thoải mái. Khi đó độ dài AC bằng bao nhiêu mét (\text{nhập đáp án vào ô trống}, làm tròn đến hàng đơn vị)?

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Hiểu theo cách hợp lý của đề:

  $SA=SB=SC=3\text{ m}$
  ,
  $AB=2\text{ m}$
  .

• Cần chọn vị trí của

  $C$
  để thể tích hình chóp
  $S.ABC$
  lớn nhất.

• Khi đó cần tìm

  $AC$
  .

❓ Hiểu câu hỏi:

• Ta xét thể tích của tứ diện

  $S.ABC$
  :
  $V=\dfrac{1}{6}\left|[\overrightarrow{SA},\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC}]\right|$

• Vì

  $SA=SB=SC=3$
  nên các điểm
  $A,B,C$
  nằm trên mặt cầu tâm
  $S$
  bán kính
  $3$
  .

• Với

  $AB=2$
  cố định, ta cần tìm vị trí của
  $C$
  để thể tích lớn nhất.

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Đặt

  $\vec u=\overrightarrow{SA},\quad \vec v=\overrightarrow{SB},\quad \vec w=\overrightarrow{SC}$
  thì
  $|\vec u|=|\vec v|=|\vec w|=3$

• Do

  $AB=2$
  nên
  $|\vec u-\vec v|=2$
  suy ra
  $|\vec u-\vec v|^2=4$
  $|\vec u|^2+|\vec v|^2-2\vec u\cdot\vec v=4$
  $9+9-2\vec u\cdot\vec v=4$
  $\Rightarrow \vec u\cdot\vec v=7$

• Khi đó

  $|\vec u\times\vec v|=\sqrt{|\vec u|^2|\vec v|^2-(\vec u\cdot\vec v)^2}=\sqrt{81-49}=4\sqrt2$

• Thể tích là

  $V=\dfrac{1}{6}|(\vec u\times\vec v)\cdot\vec w| \le \dfrac{1}{6}|\vec u\times\vec v|\cdot|\vec w|=\dfrac{1}{6}\cdot 4\sqrt2\cdot 3=2\sqrt2$

• Dấu “=” xảy ra khi

  $\vec w$
  cùng phương với
  $\vec u\times\vec v$
  , tức là
  $\vec w\perp \vec u,\quad \vec w\perp \vec v$

• Lúc đó

  $\vec u\cdot\vec w=0$
  nên
  $AC^2=|\vec u-\vec w|^2=|\vec u|^2+|\vec w|^2-2\vec u\cdot\vec w=9+9=18$

• Suy ra

  $AC=\sqrt{18}=3\sqrt2\text{ m}$

✅ Đáp án: 4