Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 6y + m = 0 (m là tham số) và đường thẳng

\Delta: \begin{cases} x = 4 + 2t \\ y = 3 + t \\ z = 3 + 2t \end{cases}

Biết đường thẳng \Delta cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 8.

Giá trị của m là (nhập đáp án vào ô trống):

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• H là trung điểm đoạn AB,

  $IH \perp AB$
  ,
  $HA = 4$

• Mặt cầu

  $(S)$
  có tâm
  $I(-2; 3; 0)$
  , bán kính
  $R = \sqrt{13 - m}$
  , với
  $m < 13$

• Đường thẳng

  $d$
  đi qua
  $M(4; 3; 3)$
  , có vectơ chỉ phương
  $\vec{u} = (2; 1; 2)$

• Tính giá trị của

  $m$

❓ Hiểu câu hỏi:

• Tính khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d (chính là đoạn

  $IH$
  )

• Sử dụng định lý Pythagoras để tính bán kính

  $R$
  và tìm
  $m$

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Lấy

  $\vec{IM} = \vec{MI} = (6; 0; 3)$

• Lấy tích có hướng:

   

  $$\vec{IM} \times \vec{u} = (-3; -6; 6)$

• Tính độ dài:

  $\left| \vec{IM} \times \vec{u} \right| = \sqrt{(-3)^2 + (-6)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36 + 36} = \sqrt{81} = 9$
  $|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$

• Vậy khoảng cách từ I đến đường thẳng là:

  $IH = \frac{|\vec{IM} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|} = \frac{9}{3} = 3$

• Áp dụng định lý Pythagoras:

  $R^2 = IH^2 + HA^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
  $\Rightarrow R^2 = 13 - m = 25 \Rightarrow m = -12$

✅ Đáp án: -12