Cho hàm số y = ax^3 + bx^2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Hàm số

  $y=ax^3+bx^2+cx+d$
  .

• Đồ thị của hàm số luôn giảm trên toàn bộ miền (hàm số giảm trên R).

• Đồ thị đi qua điểm có tung độ bằng 0 (tức giao với trục Oy tại

  $y=0$
  ), suy ra
  $d=0$
  .

❓ Hiểu câu hỏi:

• Câu hỏi yêu cầu chọn mệnh đề đúng trong các phương án về dấu của tham số và điều kiện liên quan đến đạo hàm bậc hai của hàm số.

• Cần áp dụng các khái niệm:

  • Đạo hàm:

    $y'=3ax^2+2bx+c.$

  • Điều kiện để một đa thức bậc hai không dương (≤0) trên toàn R: hệ số cao nhất ≤ 0 và biệt thức ≤ 0.

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Vì đồ thị giảm trên toàn R, nên đạo hàm phải không dương với mọi

  $x$
  , tức
  $3ax^2+2bx+c \le 0\quad \text{với mọi }x\in\mathbb{R}.$

• Với một tam thức bậc hai

  $q(x)=3ax^2+2bx+c$
  để
  $q(x)\le0$
  trên toàn R thì cần thỏa:

  • Hệ số của

    $x^2$
    phải ≤ 0:
    $3a<0\ \ (\text{vì hàm giảm nghiêm ngặt nên }3a<0)\Rightarrow a<0.$

  • Biệt thức của

    $q(x)$
    không dương:
    $\Delta'= (2b)^2 - 4\cdot 3a\cdot c = 4(b^2-3ac)\le 0\Rightarrow b^2-3ac\le 0.$

• Về hệ số tự do

  $d$
  : theo đề, đồ thị cắt trục Oy tại
  $y=0$
  nên
  $d=0.$

• Kết hợp lại ta có:

  $a<0,\quad b^2-3ac\le0,\quad d=0.$
  Đây là nội dung của phương án C.

✅ Đáp án: