Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm O, bán kính R = 2 và mặt cầu (S'): (x - 1)^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 1. Mặt phẳng (P) thay đổi luôn tiếp xúc với hai mặt cầu (S) và (S'). Biết rằng (P) luôn đi qua điểm M(a; b; c) cố định. Tính giá trị của biểu thức a + b + c.

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Mặt cầu

  $(S)$
  có tâm
  $O(0,0,0)$
  , bán kính
  $R=2$
  .

• Mặt cầu

  $(S')$
  có phương trình
  $(x-1)^2+y^2+(z-1)^2=1$
  nên có tâm
  $I(1,0,1)$
  , bán kính
  $r=1$
  .

• Mặt phẳng

  $(P)$
  thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với cả hai mặt cầu.

• Mặt phẳng

  $(P)$
  luôn đi qua điểm cố định
  $M(a,b,c)$
  .

• Cần tính

  $a+b+c$
  .

❓ Hiểu câu hỏi:

• Ta cần tìm điểm cố định chung của mọi mặt phẳng cùng tiếp xúc với hai mặt cầu.

• Với bài toán hai mặt cầu cùng tiếp xúc với một mặt phẳng, điểm cố định đó chính là tâm vị tự ngoài của hai mặt cầu.

• Sau khi tìm được tọa độ điểm

  $M$
  , ta chỉ cần cộng
  $a+b+c$
  .

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Gọi tâm của mặt cầu

  $(S')$
  là
  $I(1,0,1)$
  .

• Vì mặt phẳng

  $(P)$
  tiếp xúc với cả hai mặt cầu bán kính
  $2$
  và
  $1$
  nên mọi mặt phẳng như vậy đều là tiếp tuyến chung ngoài của hai mặt cầu.

• Điểm cố định mà mọi tiếp tuyến chung ngoài đều đi qua là tâm vị tự ngoài

  $M$
  của hai mặt cầu.

• Khi đó

  $M$
  nằm trên đường thẳng
  $OI$
  và thỏa mãn tỉ số
  $\dfrac{MO}{MI}=\dfrac{R}{r}=\dfrac{2}{1}$
  .

• Ta có

  $O(0,0,0),\ I(1,0,1)$
  nên vectơ
  $\overrightarrow{OI}=(1,0,1)$
  .

• Vì

  $M$
  là tâm vị tự ngoài, nên
  $I$
  nằm giữa
  $O$
  và
  $M$
  , đồng thời
  $MO=2MI$
  .

• Suy ra

  $OI=MO-MI=2MI-MI=MI$
  , nên
  $MI=OI$
  và do đó
  $MO=2OI$
  .

• Vậy

  $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OI}=2(1,0,1)=(2,0,2)$
  .

• Suy ra

  $M(2,0,2)$
  .

• Do đó

  $a=2,\ b=0,\ c=2$
  .

• Vậy

  $a+b+c=2+0+2=4$
  .

✅ Đáp án: