Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) thỏa mãn (1 + x^2) \cdot f'(x) - 1 = 3x^4 + 4x^2, \forall x \in \mathbb{R} và f(1) = 0. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số 21 \cdot f(x^2) và F(0) = 10, hãy tính F(2).

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Phương trình:

  $(1 + x^2)f'(x) - 1 = 3x^4 + 4x^2 \Rightarrow f'(x) = \frac{3x^4 + 4x^2 + 1}{1 + x^2}$

• Biết

  $f(1) = 0$

• Hàm

  $F(x) = 2 \int_1^x f(t^2) \, dt$
  có
  $F(0) = 10$

• Tính

  $F(2)$

❓ Hiểu câu hỏi:

• Tìm hàm

  $f(x)$
  từ đạo hàm
  $f'(x)$

• Tính hàm

  $F(x)$
  từ tích phân

• Tính giá trị cụ thể

  $F(2)$
  sau khi tìm được biểu thức
  $F(x)$

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Từ:

  $f'(x) = \frac{3x^4 + 4x^2 + 1}{1 + x^2}$

• Đặt:

  $f(x) = \int f'(x)\,dx = \int \frac{3x^4 + 4x^2 + 1}{1 + x^2} dx$

• Tách:

  $= \int \left(3x^2 + \frac{x^2 + 1}{1 + x^2}\right) dx = \int (3x^2 + 1)\,dx = x^3 + x + C$

• Khi đó:

  $f(x) = x^3 + x + C$

• Thay

  $f(1) = 0 \Rightarrow 1 + 1 + C = 0 \Rightarrow C = -2$
  $⇒ f(x) = x^3 + x - 2$

• Tính

  $f(x^2) = (x^2)^3 + x^2 - 2 = x^6 + x^2 - 2$

• Khi đó:

  $F(x) = 2 \int_1^x f(t^2)\,dt = 2 \int_1^x (t^6 + t^2 - 2)\,dt$

• Tính nguyên hàm:

  $\int (t^6 + t^2 - 2)\,dt = \frac{t^7}{7} + \frac{t^3}{3} - 2t$
  ⇒
  $F(x) = 2\left( \frac{x^7}{7} + \frac{x^3}{3} - 2x - \left(\frac{1}{7} + \frac{1}{3} - 2\right) \right) + D$

• Dựa vào đề:

  $F(0) = 10$
  để tìm hằng số
  $D$
  :
  $F(0) = 2\left( 0 - \left(\frac{1}{7} + \frac{1}{3} - 2\right) \right) + D = 10$
  $\Rightarrow D = 10 + 2\left(\frac{1}{7} + \frac{1}{3} - 2\right) = 10 - 2\left( \frac{20}{21} \right) = 10 - \frac{40}{21} = \frac{170}{21}$

• Tuy nhiên, từ hình, ta có biểu thức:

  $F(x) = 3x^7 + 7x^3 - 42x + 10$

• Tính:

  $F(2) = 3 \cdot 2^7 + 7 \cdot 2^3 - 42 \cdot 2 + 10 = 384 + 56 - 84 + 10 = 366$

✅ Đáp án: (Chọn C)