Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển \left(\frac{x}{3} + \frac{9}{x} \right)^4 với x \ne 0 (nhập đáp án vào ô trống):

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Cần tìm hệ số của số hạng không chứa

  $x$
  trong khai triển
  $\left(\dfrac{x}{3}+\dfrac{9}{x}\right)^4$
  .

• Điều kiện:

  $x\ne 0$
  .

❓ Hiểu câu hỏi:

• “Số hạng không chứa

  $x$
  ” nghĩa là số hạng có lũy thừa của
  $x$
  bằng
  $0$
  .

• Ta sẽ dùng công thức số hạng tổng quát của khai triển nhị thức Newton với tổ hợp

  $C_n^k$
  .

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Số hạng tổng quát trong khai triển

  $\left(\dfrac{x}{3}+\dfrac{9}{x}\right)^4$
  là
  $T_{k+1}=C_4^k\left(\dfrac{x}{3}\right)^{4-k}\left(\dfrac{9}{x}\right)^k,\quad k=0,1,2,3,4.$

• Biến đổi số hạng này:

  $T_{k+1}=C_4^k\cdot \dfrac{x^{4-k}}{3^{4-k}}\cdot \dfrac{9^k}{x^k}=C_4^k\cdot \dfrac{9^k}{3^{4-k}}\cdot x^{4-2k}.$

• Để số hạng không chứa

  $x$
  thì số mũ của
  $x$
  phải bằng
  $0$
  :
  $4-2k=0 \Rightarrow k=2.$

• Thay

  $k=2$
  vào hệ số:
  $C_4^2\cdot \dfrac{9^2}{3^{4-2}}=6\cdot \dfrac{81}{9}=6\cdot 9=54.$

✅ Đáp án: