Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai cạnh đối AB và CD bằng

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Tứ diện đều

  $ABCD$
  có tất cả các cạnh bằng
  $a$
  .

• Cần tính khoảng cách giữa hai cạnh đối

  $AB$
  và
  $CD$
  .

• Các đáp án là:

  $A.\ \dfrac{a\sqrt{2}}{2},\quad B.\ \dfrac{a\sqrt{3}}{2},\quad C.\ \dfrac{a}{2},\quad D.\ \dfrac{a}{3}$
  .

❓ Hiểu câu hỏi:

• Bài toán yêu cầu tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

  $AB$
  và
  $CD$
  .

• Với tứ diện đều, ta có thể đặt hệ trục tọa độ để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng này.

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Đặt

  $A(1,1,1),\ B(1,-1,-1),\ C(-1,1,-1),\ D(-1,-1,1)$
  .

• Khi đó ta có

  $AB=AC=AD=BC=BD=CD=2\sqrt{2}$
  , nên đây là một tứ diện đều cạnh
  $2\sqrt{2}$
  .

• Xét hai vectơ chỉ phương:

  $\overrightarrow{AB}=(0,-2,-2),\quad \overrightarrow{CD}=(0,-2,2)$
  .

• Ta tính được

  $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}=(-8,0,0)$
  nên
  $\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}\right|=8$
  .

• Lấy

  $\overrightarrow{AC}=(-2,0,-2)$
  .

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng

  $AB$
  và
  $CD$
  là
  $d=\dfrac{\left|\overrightarrow{AC}\cdot\left(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}\right)\right|}{\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}\right|}=\dfrac{|(-2,0,-2)\cdot(-8,0,0)|}{8}=\dfrac{16}{8}=2$
  .

• Vậy với tứ diện đều cạnh

  $2\sqrt{2}$
  thì khoảng cách giữa hai cạnh đối bằng
  $2$
  .

• Do độ dài cạnh thực tế là

  $a$
  , ta tỉ lệ được
  $d=2\cdot\dfrac{a}{2\sqrt{2}}=\dfrac{a}{\sqrt{2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
  .

✅ Đáp án: (Chọn A)