Cho hàm số y = \frac{2x + 1}{x - 2} có đồ thị (C). Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm thuộc đồ thị (C) mà tiếp tuyến của (C) tại điểm đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng \frac{2}{5}?

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Hàm số có đồ thị

  $(C): y=\dfrac{2x+1}{x-2}$

• Xét tiếp tuyến của

  $(C)$
  tại một điểm bất kỳ trên đồ thị.

• Tiếp tuyến đó cắt hai trục tọa độ và tạo thành một tam giác có diện tích

  $\dfrac{2}{5}$
  .

❓ Hiểu câu hỏi:

• Bài toán hỏi có bao nhiêu điểm trên đồ thị sao cho tiếp tuyến tại điểm đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích đúng bằng

  $\dfrac{2}{5}$
  .

• Muốn làm được, ta cần:

  • Tính đạo hàm để viết phương trình tiếp tuyến.

  • Tìm giao điểm của tiếp tuyến với trục

    $Ox$
    và
    $Oy$
    .

  • Dùng công thức diện tích tam giác tạo bởi hai trục tọa độ:

    $S=\dfrac{1}{2}|ab|$
    với
    $a,b$
    là hai giao điểm trên trục.

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Gọi tiếp điểm có hoành độ

  $x_0\ne 2$
  . Khi đó tung độ là
  $y_0=\dfrac{2x_0+1}{x_0-2}$
  .

• Tính đạo hàm:

  $y'=\dfrac{2(x-2)-(2x+1)}{(x-2)^2}=\dfrac{-5}{(x-2)^2}$

• Hệ số góc tiếp tuyến tại

  $x_0$
  là
  $m=\dfrac{-5}{(x_0-2)^2}$
  .

• Phương trình tiếp tuyến tại điểm

  $\left(x_0,\dfrac{2x_0+1}{x_0-2}\right)$
  là:
  $y-\dfrac{2x_0+1}{x_0-2}=\dfrac{-5}{(x_0-2)^2}(x-x_0)$

• Để tính gọn hơn, đặt

  $t=x_0-2\ne 0$
  . Khi đó:

  • $x_0=t+2$

  • $y_0=\dfrac{2(t+2)+1}{t}=2+\dfrac{5}{t}$

  • $m=\dfrac{-5}{t^2}$

• Giao điểm của tiếp tuyến với trục

  $Oy$
  (cho
  $x=0$
  ) có tung độ:
  $b=2+\dfrac{5}{t}+\dfrac{5(t+2)}{t^2}=\dfrac{2(t^2+5t+5)}{t^2}$

• Giao điểm của tiếp tuyến với trục

  $Ox$
  (cho
  $y=0$
  ) có hoành độ:
  $a=\dfrac{2(t^2+5t+5)}{5}$

• Diện tích tam giác tạo bởi tiếp tuyến và hai trục tọa độ là:

  $S=\dfrac{1}{2}|ab|=\dfrac{1}{2}\left|\dfrac{2(t^2+5t+5)}{5}\cdot \dfrac{2(t^2+5t+5)}{t^2}\right|=\dfrac{2(t^2+5t+5)^2}{5t^2}$

• Theo đề bài:

  $\dfrac{2(t^2+5t+5)^2}{5t^2}=\dfrac{2}{5}$

• Rút gọn được:

  $\dfrac{(t^2+5t+5)^2}{t^2}=1$

• Suy ra:

  $|t^2+5t+5|=|t|$

• Xét hai trường hợp:

  • $t^2+5t+5=t \Rightarrow t^2+4t+5=0$
    vô nghiệm thực.

  • $t^2+5t+5=-t \Rightarrow t^2+6t+5=0 \Rightarrow t=-1,; t=-5$

• Có đúng

  $2$
  giá trị của
  $t$
  , nên có đúng
  $2$
  điểm trên đồ thị thỏa mãn.

✅ Đáp án: Chọn C