Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số y = \dfrac{x^2 - 4x + m + 2 + 3\sqrt{x^2 - 4x}}{\sqrt{x^2 - 4x}+ 2} nghịch biến trên khoảng (-4;0)?

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Hàm số đã cho:

  $y = \frac{x^2 - 4x + m + 2 + 3\sqrt{x^2 - 4x}}{\sqrt{x^2 - 4x} + 2}$

• Cần xét tính nghịch biến của hàm số trên khoảng

  $(-4; 0)$

• Tìm tất cả giá trị nguyên dương của

  $m$
  sao cho điều kiện trên thỏa mãn

❓ Hiểu câu hỏi:

• Câu hỏi yêu cầu tìm số giá trị nguyên dương của

  $m$
  sao cho hàm số
  $y$
  nghịch biến trên khoảng
  $(-4; 0)$

• Cần sử dụng kiến thức về đạo hàm và khảo sát tính đơn điệu (nghịch biến/đồng biến) của hàm hợp

• Phải đưa hàm về biến phụ để đơn giản hóa biểu thức và đạo hàm

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Đặt

  $t = \sqrt{x^2 - 4x}$
  để đơn giản hóa biểu thức

• Khi đó, hàm

  $y$
  trở thành hàm theo
  $t$
  :
  $g(t) = \frac{t^2 + 3t + m + 2}{t + 2}$

• Vì

  $t = \sqrt{x^2 - 4x}$
  và
  $x \in (-4; 0)$
  nên:

   

  • $x^2 - 4x > 0$
    ⇒
    $t > 0$

  • Với

    $x \to -4^+$
    thì
    $t \to \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

  • Với

    $x \to 0^-$
    thì
    $t \to 0$
    ⇒
    $t \in (0; 4\sqrt{2})$

• Vì

  $t$
  là hàm giảm theo
  $x$
  trên khoảng
  $(-4; 0)$
  (do
  $t' = \frac{x - 2}{\sqrt{x^2 - 4x}} < 0$
  ) ⇒ Để
  $y(x)$
  nghịch biến thì
  $g(t)$
  phải đồng biến trên
  $t \in (0; 4\sqrt{2})$

• Tính đạo hàm

  $g'(t)$
  :
  $g'(t) = \frac{(2t + 3)(t + 2) - (t^2 + 3t + m + 2)}{(t + 2)^2} = \frac{t^2 + 4t + 4 - m}{(t + 2)^2}$

• Để

  $g'(t) \geq 0$
  trên khoảng
  $t \in (0; 4\sqrt{2})$
  thì tử số:
  $(t + 2)^2 - m \geq 0 \Rightarrow m \leq (t + 2)^2$

• Tìm giá trị nhỏ nhất của

  $(t + 2)^2$
  trên đoạn
  $t \in (0; 4\sqrt{2})$
  :

   

  • Giá trị nhỏ nhất tại

    $t = 0$
    :
    $(t + 2)^2 = 4$

• Vì

  $m$
  là số nguyên dương ⇒
  $m \leq 4$
  ⇒ Các giá trị nguyên dương thỏa mãn là
  $m = 1, 2, 3, 4$
  (tổng cộng 4 giá trị)

✅ Đáp án: