Một bình hoa dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = -\sin{x} + 2 và trục Ox (tham khảo hình vẽ bên dưới). Biết đáy bình hoa là hình tròn có bán kính bằng 2dm, miệng bình hoa là đường tròn bán kính bằng 1.5dm. Độ dày của đáy bình hoa không đáng kể, tính thể tích của bình hoa. (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị: dm^3)

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Đồ thị hàm số

  $y = -\sin{x} + 2$

• Quay quanh trục Ox để tạo ra bình hoa có dạng khối tròn xoay

• Đáy bình hoa là hình tròn bán kính 2 dm

• Miệng bình hoa là đường tròn bán kính 1.5 dm

• Bỏ qua độ dày, yêu cầu tính thể tích khối bình hoa (đơn vị: dm³)

❓ Hiểu câu hỏi:

• Áp dụng công thức thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Ox:

  $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$

• Xác định giới hạn tích phân từ đáy đến miệng bình hoa

• Tính toán tích phân chính xác

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Bán kính đáy bình hoa là

  $2 \Rightarrow y_4 = 2 \Rightarrow -\sin{x_4} + 2 = 2 \Rightarrow x_4 = 0$

• Bán kính miệng bình hoa là

  $1.5 \Rightarrow y_3 = 1.5$

   

  • $-\sin(x_3 - \pi) + 2 = 1.5 \Rightarrow \sin(x_3 - \pi) = \frac{1}{2} \Rightarrow x_3 - \pi = \frac{\pi}{6} \Rightarrow x_3 = \frac{7\pi}{6} \Rightarrow x_3 = \frac{17\pi}{6}$

• Thiết lập công thức thể tích:

  $V = \pi \int_0^{\frac{17\pi}{6}} (-\sin{x} + 2)^2 dx = \pi \int_0^{\frac{17\pi}{6}} (4 - 4\sin{x} + \sin^2{x}) dx$

• Sử dụng:

  $\sin^2{x} = \frac{1 - \cos{2x}}{2}$
  $V = \pi \int_0^{\frac{17\pi}{6}} \left( \frac{9}{2} - 4\sin{x} - \frac{1}{2} \cos{2x} \right) dx$

• Tính từng phần:

  $\int_0^{\frac{17\pi}{6}} \left( \frac{9}{2} - 4\sin{x} - \frac{1}{2} \cos{2x} \right) dx = \frac{51\pi}{4} - \frac{15\sqrt{3}}{8}$

• Suy ra:

  $V = \pi \left( \frac{32 + 15\sqrt{3}}{8} \right) \approx 103.07$

✅ Đáp án: