Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \angle ACB = 30^\circ, biết góc giữa B^{\prime}C và mặt phẳng (ACC'A') bằng \alpha thỏa mãn \sin{\alpha} = \frac{1}{2\sqrt{5}}. Cho khoảng cách giữa hai đường thẳng A B' và C C' bằng \sqrt{3}. Thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Hình lăng trụ đứng

  $ABC.A'B'C'$
  .

• Đáy

  $ABC$
  là tam giác vuông tại
  $A$
  , có
  $\angle ACB=30^\circ$
  .

• Góc giữa

  $B'C$
  và mặt phẳng
  $(ACC'A')$
  bằng
  $\alpha$
  , với
  $\sin\alpha=\dfrac{1}{2\sqrt5}$
  .

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng

  $AB'$
  và
  $CC'$
  bằng
  $\sqrt3$
  .

• Cần tính thể tích

  $V$
  của khối lăng trụ.

❓ Hiểu câu hỏi:

• Vì là lăng trụ đứng nên các cạnh bên vuông góc với đáy.

• Ta nên đặt hệ trục tọa độ để biểu diễn các điểm, rồi dùng:

  • điều kiện góc giữa đường thẳng và mặt phẳng,

  • công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau,

  • công thức thể tích

    $V=S_{\text{đáy}}\cdot h$
    .

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Đặt:

  $A(0,0,0),\ B(0,a,0),\ C(a\sqrt3,0,0).$

• Vì

  $\triangle ABC$
  vuông tại
  $A$
  và
  $\angle ACB=30^\circ$
  nên có thể chọn:
  $AB=a,\ AC=a\sqrt3.$

• Gọi chiều cao lăng trụ là

  $h$
  . Khi đó:
  $A'(0,0,h),\ B'(0,a,h),\ C'(a\sqrt3,0,h).$

• Mặt phẳng

  $(ACC'A')$
  đi qua các điểm có tung độ bằng
  $0$
  nên có phương trình:
  $y=0.$

• Xét đường thẳng

  $B'C$
  , một vectơ chỉ phương là:
  $\vec{u}=\overrightarrow{B'C}=(a\sqrt3,-a,-h).$

• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

  $y=0$
  là:
  $\vec{n}=(0,1,0).$

• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thỏa:

  $\sin\alpha=\dfrac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\dfrac{a}{\sqrt{(a\sqrt3)^2+a^2+h^2}}=\dfrac{a}{\sqrt{4a^2+h^2}}.$

• Theo giả thiết:

  $\dfrac{a}{\sqrt{4a^2+h^2}}=\dfrac{1}{2\sqrt5}.$

• Bình phương hai vế:

  $\dfrac{a^2}{4a^2+h^2}=\dfrac{1}{20}.$

• Suy ra:

  $20a^2=4a^2+h^2\Rightarrow h^2=16a^2\Rightarrow h=4a.$

• Bây giờ xét khoảng cách giữa hai đường thẳng

  $AB'$
  và
  $CC'$
  .

• Vectơ chỉ phương của

  $AB'$
  là:
  $\vec{v}=\overrightarrow{AB'}=(0,a,h).$

• Vectơ chỉ phương của

  $CC'$
  là:
  $\vec{w}=(0,0,h).$

• Ta có:

  $\vec{v}\times \vec{w}=(ah,0,0).$

• Lấy:

  $\overrightarrow{AC}=(a\sqrt3,0,0).$

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

  $d=\dfrac{\left|\overrightarrow{AC}\cdot (\vec{v}\times \vec{w})\right|}{|\vec{v}\times \vec{w}|}=\dfrac{|(a\sqrt3,0,0)\cdot (ah,0,0)|}{ah}=a\sqrt3.$

• Theo đề bài:

  $a\sqrt3=\sqrt3\Rightarrow a=1.$

• Do đó:

  $h=4a=4.$

• Diện tích đáy:

  $S_{\triangle ABC}=\dfrac12\cdot AB\cdot AC=\dfrac12\cdot 1\cdot \sqrt3=\dfrac{\sqrt3}{2}.$

• Thể tích lăng trụ:

  $V=S_{\triangle ABC}\cdot h=\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot 4=2\sqrt3\approx 3{,}46.$

✅ Đáp án: