Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) bằng

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Hình chóp

  $S.ABCD$
  có đáy
  $ABCD$
  là hình chữ nhật,
  $AB=a,\ BC=2a$
  .

• $SA\perp(ABCD)$
  và
  $SA=a\sqrt2$
  .

• Cần tính khoảng cách từ điểm

  $A$
  đến mặt phẳng
  $(SBD)$
  .

❓ Hiểu câu hỏi:

• Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: nếu mặt phẳng có phương trình

  $Ax+By+Cz+D=0$
  thì
  $d=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
  .

• Ta sẽ đặt hệ trục tọa độ phù hợp để viết phương trình mặt phẳng

  $(SBD)$
  rồi áp dụng công thức trên.

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Chọn hệ trục tọa độ:

  $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(a,2a,0),\ D(0,2a,0)$
  .

• Vì

  $SA\perp(ABCD)$
  và
  $SA=a\sqrt2$
  nên
  $S(0,0,a\sqrt2)$
  .

• Tính hai vectơ chỉ phương nằm trong mặt phẳng

  $(SBD)$
  :
  $\overrightarrow{SB}=B-S=(a,0,-a\sqrt2),\ \overrightarrow{SD}=D-S=(0,2a,-a\sqrt2).$

• Lấy pháp tuyến của mặt phẳng

  $(SBD)$
  :
  $\vec n=\overrightarrow{SB}\times\overrightarrow{SD}=(2a^2\sqrt2,\ a^2\sqrt2,\ 2a^2).$

• Chia cho

  $a^2$
  để gọn, nhận pháp tuyến tương đương:
  $\vec n=(2\sqrt2,\ \sqrt2,\ 2).$

• Phương trình mặt phẳng

  $(SBD)$
  đi qua
  $B(a,0,0)$
  :
  $2\sqrt2(x-a)+\sqrt2(y-0)+2(z-0)=0 \Rightarrow 2\sqrt2x+\sqrt2y+2z-2\sqrt2a=0.$

• Tính khoảng cách từ

  $A(0,0,0)$
  đến mặt phẳng đó:
  $d=\dfrac{|2\sqrt2\cdot0+\sqrt2\cdot0+2\cdot0-2\sqrt2a|}{\sqrt{(2\sqrt2)^2+(\sqrt2)^2+2^2}}=\dfrac{2\sqrt2a}{\sqrt{8+2+4}}=\dfrac{2\sqrt2a}{\sqrt{14}}.$

• Rút gọn:

  $d=\dfrac{2\sqrt2a}{\sqrt{14}}=\dfrac{2a}{\sqrt7}=\dfrac{2\sqrt7}{7}a=\dfrac{2\sqrt{22}}{11}a.$

✅ Đáp án: (Chọn C)