Trong kho tàng văn hóa dân gian Việt Nam có bài toán “Trăm trâu trăm cỏ” sau đây:

*Trăm trâu trăm cỏ,

Trâu đứng ăn năm,

Trâu nằm ăn ba,

Lụ khụ trâu già,

Ba con một bó.*

Hỏi có bao nhiêu trâu nằm, biết số con trâu nằm là số lẻ?

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Gọi số trâu đứng là

  $x$
  , số trâu nằm là
  $y$
  , số trâu già là
  $z$
  .

• Tổng số trâu:

  $x+y+z=100$
  .

• Mức ăn cỏ:

  • Trâu đứng ăn

    $5$
    bó: mỗi con ăn
    $5$
    .

  • Trâu nằm ăn

    $3$
    bó: mỗi con ăn
    $3$
    .

  • Trâu già:

    $3$
    con ăn
    $1$
    bó, tức là mỗi con ăn
    $\dfrac{1}{3}$
    .

• Tổng số cỏ:

  $100$
  bó.

• Biết

  $y$
  là số lẻ.

❓ Hiểu câu hỏi:

• Cần tìm

  $y$
  (số trâu nằm).

• Dùng hệ phương trình từ điều kiện “đủ 100 trâu” và “ăn đủ 100 bó cỏ”.

• Không dùng ký hiệu “mod”, chỉ biến đổi đại số và xét tính chia hết.

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Lập hệ điều kiện:

  $\begin{cases}x+y+z=100\\5x+3y+\dfrac{z}{3}=100\end{cases}$

• Nhân phương trình thứ hai với

  $3$
  để khử mẫu:
  $15x+9y+z=300.$

• Từ

  $x+y+z=100$
  suy ra
  $z=100-x-y$
  . Thế vào phương trình
  $15x+9y+z=300$
  :
  $15x+9y+(100-x-y)=300.$

• Rút gọn:

  $14x+8y+100=300 \Rightarrow 14x+8y=200 \Rightarrow 7x+4y=100.$

• Suy ra

  $7x=100-4y$
  nên
  $100-4y$
  phải chia hết cho
  $7$
  .

• Vì

  $100=7\cdot14+2$
  nên
  $100-4y=7\cdot14+2-4y$
  chia hết cho
  $7$
  khi và chỉ khi
  $2-4y$
  chia hết cho
  $7$
  .

• Ta thử các đáp án lẻ trong lựa chọn:

  • Nếu

    $y=11$
    thì
    $7x+4\cdot11=100 \Rightarrow 7x=56 \Rightarrow x=8$
    . Khi đó
    $z=100-8-11=81$
    (hợp lệ, không âm).

  • Nếu

    $y=17$
    thì
    $7x+68=100 \Rightarrow 7x=32$
    (không ra số nguyên).

• Vậy số trâu nằm (lẻ) thỏa mãn là

  $y=11$
  .

✅ Đáp án: B