Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;3;-2),\ B(0;4;7),\ C(5;-1;2) và mặt phẳng (P): x + y + z - 2 = 0. Điểm M(a,b,c) thuộc mặt phẳng (P) sao cho biểu thức |\overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}| đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó tổng T = a^2 + b^2 + c^2 bằng

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Trong không gian

  $Oxyz$
  .

• Điểm

  $A(1;3;-2)$
  ,
  $B(0;4;7)$
  và
  $C(5;-1;2)$
  .

• Mặt phẳng

  $(P): x + y + z - 2 = 0$
  .

• Điểm

  $M(a,b,c)$
  thuộc
  $(P)$
  .

• Biểu thức cần tối tiểu:

  $\bigl|\overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}\bigr|$
  .

• Tính

  $T = a^2 + b^2 + c^2$
  .

❓ Hiểu câu hỏi:

• Xác định điểm

  $M$
  trên mặt phẳng
  $(P)$
  sao cho
  $\bigl|\overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}\bigr|$
  nhỏ nhất.

• Khi đó tính giá trị

  $T = a^2 + b^2 + c^2$
  .

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Viết tọa độ các vectơ:

  $\overrightarrow{MA}=(a-1,\;b-3,\;c+2),$
  $\overrightarrow{MB}=(a,\;b-4,\;c-7),$
  $\overrightarrow{MC}=(a-5,\;b+1,\;c-2).$

• Tính tổ hợp:

  $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC} =(2a-16,\;2b+8,\;2c+10) =2\,(a-8,\;b+4,\;c+5).$

• Khi đó

  $\bigl|\overrightarrow{v}\bigr|=2\sqrt{(a-8)^2+(b+4)^2+(c+5)^2},$
  nhỏ nhất khi
  $M$
  là hình chiếu vuông góc của điểm
  $H(8,-4,-5)$
  lên mặt phẳng
  $(P)$
  .

• Tìm hình chiếu:

  • Vectơ pháp tuyến của

    $(P)$
    là
    $\mathbf{n}=(1,1,1)$
    .

  • Khoảng cách từ

    $H$
    đến
    $(P)$
    :
    $D=\frac{8+(-4)+(-5)-2}{\sqrt{3}}=-\sqrt{3}.$

  • Hình chiếu:

    $M =H - D\,\frac{\mathbf{n}}{\|\mathbf{n}\|} =(8,-4,-5)+(\,1,1,1) =(9,-3,-4).$

• Cuối cùng tính

  $T=9^2+(-3)^2+(-4)^2=81+9+16=106.$

✅ Đáp án: B. 106