😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Hàm số:

  $f(x)=-2\sin^2x-6\cos x+6$
  xác định trên
  $\mathbb R$
  .

• Yêu cầu 1: Tìm giá trị lớn nhất của

  $f(x)$
  .

• Yêu cầu 2: Với

  $x\in(0;20]$
  , đếm số nghiệm của phương trình
  $f(x)=0$
  .

• Yêu cầu 3: Số điểm biểu diễn của bất phương trình

  $f(x)\ge 12$
  trên đường tròn lượng giác.

❓ Hiểu câu hỏi:

• Quy về ẩn

  $t=\cos x\in[-1;1]$
  để biến đổi
  $f(x)$
  thành tam thức bậc hai theo
  $t$
  .

• Dùng tính chất đồ thị parabol để tìm GTLN trên đoạn

  $[-1;1]$
  .

• Giải phương trình lượng giác đơn giản

  $\cos x=1$
  và đếm nghiệm trong khoảng đã cho.

• Nhận ra

  $f(x)\ge 12$
  chỉ xảy ra khi đạt đúng giá trị lớn nhất.

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Đặt

  $t=\cos x\in[-1;1]$
  , khi đó
  $\sin^2x=1-\cos^2x$
  nên
  $f(x)=-2(1-t^2)-6t+6=2t^2-6t+4=2(t^2-3t+2)=2(t-1)(t-2)$
  .

• Parabol

  $y=2t^2-6t+4$
  có hệ số
  $a>0$
  nên nhỏ nhất tại đỉnh, lớn nhất ở biên đoạn
  $[-1;1]$
  . Tính:
  $f(1)=0,\ f(-1)=12\Rightarrow f_{\max}=12$
  (xảy ra khi
  $\cos x=-1$
  ).

• Giải

  $f(x)=0\Leftrightarrow 2t^2-6t+4=0\Leftrightarrow t^2-3t+2=0\Rightarrow t=1\ \text{hoặc}\ t=2$
  ; nhưng
  $t=2$
  loại, nên
  $\cos x=1\Rightarrow x=2k\pi$
  . Với
  $x\in(0;20]$
  :
  $2\pi,4\pi,6\pi\ (\text{ba nghiệm})$
  vì
  $2\pi\approx6.283,\ 4\pi\approx12.566,\ 6\pi\approx18.850\le 20<8\pi$
  .

• Bất phương trình

  $f(x)\ge 12$
  : do
  $f_{\max}=12$
  nên chỉ có khi
  $f(x)=12\Leftrightarrow \cos x=-1$
  , biểu diễn bởi đúng 1 điểm trên đường tròn lượng giác (điểm
  $(-1,0)$
  ).

✅ Đáp án:

• Câu 1:

  $f_{\max}=12\Rightarrow \text{chọn D}$
  .

• Câu 2:

  $3\ \text{nghiệm}\Rightarrow \text{chọn C}$
  .

• Câu 3:

  $1\ \text{điểm}\Rightarrow \text{chọn A}$
  .