Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi P là trung điểm của OD, điểm I thuộc cạnh SD sao cho đường thẳng PI song song mặt phẳng (SBC). Tính tỉ số \frac{SI}{ID}.

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Hình chóp

  $S.ABCD$
  có đáy
  $ABCD$
  là hình bình hành, tâm
  $O$
  của đáy.

• $P$
  là trung điểm của
  $OD$
  .

• Điểm

  $I$
  thuộc cạnh
  $SD$
  sao cho
  $PI \parallel (SBC)$
  .

• Tìm tỉ số

  $\frac{SI}{ID}$
  .

❓ Hiểu câu hỏi:

• Xác định tọa độ các điểm bằng cách chọn hệ tọa độ thuận tiện.

• Tìm tọa độ điểm

  $P$
  (trung điểm của
  $OD$
  ) và điểm
  $I$
  trên
  $SD$
  theo tham số.

• Sử dụng điều kiện song song (vecto chỉ phương của

  $PI$
  vuông góc với véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng
  $(SBC)$
  ) để xác định tham số của
  $I$
  .

• Tính tỉ số đoạn thẳng trên cạnh

  $SD$
  , cụ thể
  $\frac{SI}{ID}$
  .

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Chọn tọa độ thuận tiện:

  $A(0,0,0),\,B(1,0,0),\,D(0,1,0),\,C(1,1,0),$
  nên tâm
  $O$
  của hình bình hành là
  $O\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right).$
  Chọn đỉnh
  $S$
  sao cho không thuộc mặt đáy, ví dụ
  $S(0,0,1).$

•  

• 

• Tính tọa độ điểm

  $P$
  (trung điểm của
  $OD$
  ):
  $O\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right),\;D(0,1,0)\quad\Rightarrow\quad P\left(\frac{\frac{1}{2}+0}{2},\frac{\frac{1}{2}+1}{2},0\right)=\left(\frac{1}{4},\frac{3}{4},0\right).$

• Gọi điểm

  $I$
  trên
  $SD$
  theo tham số:
  $I=S+t(D-S)=(0,0,1)+t(0,1,-1)=(0,t,1-t),\quad t\in[0,1].$

• Mặt phẳng

  $(SBC)$
  qua các điểm
  $S(0,0,1),\;B(1,0,0),\;C(1,1,0).$
  Tính véc-tơ pháp tuyến:
  $\vec{SB}=(1,0,-1),\quad \vec{SC}=(1,1,-1),$
  $\vec{n}=\vec{SB}\times\vec{SC}=(1,0,1) \quad (\text{đủ để xét vuông góc}).$

• Véc-tơ chỉ phương của

  $PI$
  :
  $\vec{PI}=I-P=\Bigl(0-\frac{1}{4},\;t-\frac{3}{4},\; (1-t)-0\Bigr)=\Bigl(-\frac{1}{4},\,t-\frac{3}{4},\,1-t\Bigr).$
  Yêu cầu
  $PI \parallel (SBC)$
  là:
  $\vec{PI}\cdot\vec{n}=0\quad\Rightarrow\quad -\frac{1}{4}+0+(1-t)=0,$
  $1-t-\frac{1}{4}=0\quad\Rightarrow\quad t=\frac{3}{4}.$

• Vậy, điểm

  $I=(0,\frac{3}{4},1-\frac{3}{4})=(0,\frac{3}{4},\frac{1}{4}).$

• Trên cạnh

  $SD$
  , với
  $S(0,0,1),\quad D(0,1,0),$
  điểm tổng quát trên
  $SD$
  là
  $(0,s,1-s),\quad s\in[0,1].$
  So sánh với
  $I=(0,\frac{3}{4},\frac{1}{4})$
  , ta có
  $s=\frac{3}{4}\quad \text{và}\quad 1-s=\frac{1}{4}.$
  Tỉ số cần tìm:
  $\frac{SI}{ID}=\frac{s}{1-s}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}}=3.$

✅ Đáp án: (C)