Một người cần đi từ khách sạn A bên bờ biển đến hòn đảo C. Biết khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là 10\text{ km}, khoảng cách từ khách sạn A đến điểm B trên bờ gần đảo C nhất là 40\text{ km}. Người đó có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ bên). Biết kinh phí đi đường thủy là 5\text{ USD/km}, đi đường bộ là 3\text{ USD/km}. Hỏi người đó phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất? (AB=40\text{ km}, BC=10\text{ km})

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• AB=40\text{ km}, BC=10\text{ km}.

• Chi phí đi bộ là 3 USD/km.

• Chi phí đi đường thủy là 5 USD/km.

❓ Hiểu câu hỏi:

• Cần tìm quãng đường đi bộ để tổng chi phí nhỏ nhất.

• Đây là bài toán tối ưu một biến.

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Đặt DB=x với 0\le x\le 40. Khi đó AD=40-x và DC=\sqrt{x^2+10^2}=\sqrt{x^2+100}.

• Tổng chi phí là F(x)=3(40-x)+5\sqrt{x^2+100}.

• Đạo hàm: F'(x)=-3+\dfrac{5x}{\sqrt{x^2+100}}.

• Cho F'(x)=0, ta được \dfrac{5x}{\sqrt{x^2+100}}=3.

• Suy ra 25x^2=9x^2+900 nên 16x^2=900, do đó x=7{,}5.

• Vậy AD=40-7{,}5=32{,}5 km.

✅ Đáp án: 32.5