Xếp 8 quyển sách giống nhau vào một giá sách gồm 10 ngăn. Gọi P là xác suất để xếp 8 quyển sách vào 10 ngăn sao cho số quyển sách trong mỗi ngăn không quá 2 quyển sách, có 4 ngăn hoặc 6 ngăn chứa đúng 1 quyển sách và các ngăn liền kề với ngăn chứa 2 quyển sách là ngăn không có quyển sách nào. Tính 12155P.

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Có 8 quyển sách giống nhau và 10 ngăn sách phân biệt.

• Mỗi ngăn chứa không quá 2 quyển.

• Số ngăn chứa đúng 1 quyển là 4 hoặc 6.

• Mọi ngăn kề với ngăn chứa 2 quyển đều phải rỗng.

❓ Hiểu câu hỏi:

• Ta cần tính xác suất P=\dfrac{\text{số cách thuận lợi}}{\text{số cách xếp tất cả}}.

• Vì sách giống nhau nên mỗi cách xếp tương ứng với một nghiệm nguyên không âm của bài toán phân phối.

• Nên dùng công thức tổ hợp C_n^k để đếm.

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Gọi x_i là số sách ở ngăn thứ i. Khi đó tổng số cách xếp là số nghiệm của x_1+x_2+\cdots+x_{10}=8 với x_i\ge 0.

• Theo công thức chia kẹo, số cách là C_{8+10-1}^{10-1}=C_{17}^9=C_{17}^8=24310.

• Xét các cách thuận lợi.

• Trường hợp 1: có đúng 6 ngăn chứa 1 quyển.

• Khi đó còn lại đúng 1 ngăn chứa 2 quyển và 3 ngăn rỗng.

• Nếu ngăn chứa 2 quyển nằm ở một đầu giá sách thì có 2 cách chọn vị trí. Ngăn kề nó bắt buộc rỗng. Trong 8 ngăn còn lại, chọn 6 ngăn để đặt đúng 1 quyển, được 2C_8^6 cách.

• Nếu ngăn chứa 2 quyển nằm ở giữa thì có 8 cách chọn vị trí. Hai ngăn kề nó bắt buộc rỗng. Trong 7 ngăn còn lại, chọn 6 ngăn để đặt đúng 1 quyển, được 8C_7^6 cách.

• Vậy số cách của trường hợp này là 2C_8^6+8C_7^6=2\cdot 28+8\cdot 7=112.

• Trường hợp 2: có đúng 4 ngăn chứa 1 quyển.

• Khi đó phải có đúng 2 ngăn chứa 2 quyển và 4 ngăn rỗng.

• Ta xét vị trí của hai ngăn chứa 2 quyển.

• Nếu hai ngăn chứa 2 quyển làm phát sinh đúng 2 ngăn rỗng bắt buộc thì chỉ có 3 cặp vị trí: \left(1,3\right),\left(8,10\right),\left(1,10\right). Khi đó còn chọn thêm 2 ngăn rỗng trong 6 ngăn còn lại, được 3C_6^2 cách.

• Nếu hai ngăn chứa 2 quyển làm phát sinh đúng 3 ngăn rỗng bắt buộc thì có 18 cặp vị trí. Khi đó còn chọn thêm 1 ngăn rỗng trong 5 ngăn còn lại, được 18C_5^1 cách.

• Nếu hai ngăn chứa 2 quyển làm phát sinh đúng 4 ngăn rỗng bắt buộc thì có 15 cặp vị trí. Khi đó không cần chọn thêm ngăn rỗng nào nữa, được 15 cách.

• Vậy số cách của trường hợp này là 3C_6^2+18C_5^1+15=3\cdot 15+18\cdot 5+15=150.

• Tổng số cách thuận lợi là 112+150=262.

• Do đó P=\dfrac{262}{24310}=\dfrac{131}{12155}.

• Suy ra 12155P=131.

✅ Đáp án: 131