Khẳng định nào sau đây là đúng?

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Trong không gian Oxyz, có ba điểm:

  • A(2;1;-1)

  • B(3;0;1)

  • C(2;-1;3)

• Mặt cầu: x^2+y^2+z^2-4x+2y-4z+5=0

• Xét điểm M(x;y;z) di động trên mặt cầu (S).

• Mệnh đề cần kiểm tra là: A. Điểm M(x;y;z) di động trên mặt cầu (S). Giá trị lớn nhất của biểu thức P=MA^2+2MB^2-MC^2 bằng 26+8\sqrt{14}.

❓ Hiểu câu hỏi:

• Ta cần xác định mệnh đề trên là đúng hay sai.

• Muốn làm được, ta cần:

  • Viết lại phương trình mặt cầu để tìm tâm và bán kính.

  • Biến đổi biểu thức P=MA^2+2MB^2-MC^2 về dạng phụ thuộc vào tọa độ điểm M.

  • Dùng tính chất: với điểm M chạy trên mặt cầu, biểu thức bậc nhất theo tọa độ của M sẽ đạt giá trị lớn nhất khi vectơ \overrightarrow{IM} cùng hướng với một vectơ cố định.

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Trước hết, đưa phương trình mặt cầu về dạng chuẩn bằng cách hoàn thành bình phương: _______ x^2-4x+y^2+2y+z^2-4z+5=0 _______ _______ (x-2)^2-4+(y+1)^2-1+(z-2)^2-4+5=0 _______ _______ (x-2)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=4 _______

• Vậy mặt cầu (S) có:

  • tâm I(2;-1;2)

  • bán kính R=2.

• Gọi M(x;y;z). Ta tính các bình phương khoảng cách: _______ MA^2=(x-2)^2+(y-1)^2+(z+1)^2 _______ _______ MB^2=(x-3)^2+y^2+(z-1)^2 _______ _______ MC^2=(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2 _______

• Khi đó: _______ P=MA^2+2MB^2-MC^2 _______ Ta khai triển từng phần: _______ MA^2=x^2+y^2+z^2-4x-2y+2z+6 _______ _______ 2MB^2=2x^2+2y^2+2z^2-12x-4z+20 _______ _______ MC^2=x^2+y^2+z^2-4x+2y-6z+14 _______

• Suy ra: _______ P=(x^2+y^2+z^2-4x-2y+2z+6)+(2x^2+2y^2+2z^2-12x-4z+20)-(x^2+y^2+z^2-4x+2y-6z+14) _______ Rút gọn: _______ P=2x^2+2y^2+2z^2-12x-4y+4z+12 _______

• Vì M thuộc mặt cầu (S) nên: _______ x^2+y^2+z^2-4x+2y-4z+5=0 _______ hay _______ x^2+y^2+z^2=4x-2y+4z-5 _______

• Thay vào biểu thức P: _______ P=2(4x-2y+4z-5)-12x-4y+4z+12 _______ _______ P=8x-4y+8z-10-12x-4y+4z+12 _______ _______ P=-4x-8y+12z+2 _______

• Như vậy, ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: _______ P=-4x-8y+12z+2 _______ với M(x;y;z) thuộc mặt cầu tâm I(2;-1;2), bán kính 2.

• Viết theo vectơ: _______ P=2+\left[(-4,-8,12)\cdot(x,y,z)\right] _______ Ta tách: _______ (x,y,z)=(2,-1,2)+\overrightarrow{IM} _______ nên _______ P=2+(-4,-8,12)\cdot(2,-1,2)+(-4,-8,12)\cdot\overrightarrow{IM} _______

• Tính phần hằng: _______ (-4)\cdot 2+(-8)\cdot(-1)+12\cdot 2=-8+8+24=24 _______ nên _______ P=26+(-4,-8,12)\cdot\overrightarrow{IM} _______

• Do M chạy trên mặt cầu bán kính 2 nên: _______ |\overrightarrow{IM}|=2 _______ Theo bất đẳng thức Cauchy: _______ (-4,-8,12)\cdot\overrightarrow{IM}\le |(-4,-8,12)|\cdot |\overrightarrow{IM}| _______ với _______ |(-4,-8,12)|=\sqrt{(-4)^2+(-8)^2+12^2}=\sqrt{16+64+144}=\sqrt{224}=4\sqrt{14} _______ Do đó: _______ (-4,-8,12)\cdot\overrightarrow{IM}\le 4\sqrt{14}\cdot 2=8\sqrt{14} _______

• Suy ra: _______ P_{\max}=26+8\sqrt{14} _______

• Giá trị lớn nhất đúng bằng số đã cho trong mệnh đề.

✅ Đáp án: Đúng