Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=4AD=4a và AA'=a. Gọi \alpha là số đo của góc nhị diện [A',BD,C]. Tính \alpha theo đơn vị độ, làm tròn đến hàng đơn vị.

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật.

• AB=4AD=4a \Rightarrow AB=4a,\ AD=a và AA'=a.

• Cần tính góc nhị diện [A',BD,C] theo phương pháp tọa độ, rồi làm tròn đến hàng đơn vị.

❓ Hiểu câu hỏi:

• Với góc nhị diện có cạnh là BD, ta chọn một mặt phẳng vuông góc với BD. Khi đó góc nhị diện [A',BD,C] chính là góc tạo bởi hai giao tuyến của mặt phẳng này với hai mặt \left(A'BD\right) và \left(CBD\right).

• Trong cách đặt tọa độ, ta sẽ tìm hai vectơ cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc BD, lần lượt hướng về phía A' và phía C, rồi tính góc giữa chúng bằng tích vô hướng.

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Đặt hệ trục tọa độ với A(0;0;0),\ B(4a;0;0),\ D(0;a;0),\ A'(0;0;a). Khi đó C(4a;a;0),\ \overrightarrow{BD}=(-4a;a;0)=a(-4;1;0).

• Mặt phẳng \left(CBD\right) chính là mặt phẳng đáy nên có phương trình z=0. Mặt phẳng \left(A'BD\right) đi qua A'(0;0;a),\ B(4a;0;0),\ D(0;a;0) nên có phương trình x+4y+4z-4a=0, suy ra một vectơ pháp tuyến của nó là \overrightarrow{n}=(1;4;4).

• Gọi I là trung điểm của BD. Xét mặt phẳng \left(P\right) đi qua I và vuông góc với BD. Khi đó giao tuyến của \left(P\right) với mặt phẳng đáy \left(CBD\right) có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u}=(1;4;0) vì \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{BD}=1\cdot(-4a)+4\cdot a=0, đồng thời tia theo hướng \overrightarrow{u} nằm về phía điểm C.

• Giao tuyến của \left(P\right) với mặt phẳng \left(A'BD\right) có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{v}=\overrightarrow{n}\times\overrightarrow{BD}=(1;4;4)\times(-4;1;0)=(-4;-16;17). Vectơ này vừa vuông góc với \overrightarrow{BD}, vừa nằm trong \left(A'BD\right), và hướng về phía A'. Vậy \alpha=\widehat{(\overrightarrow{v},\overrightarrow{u})}.

• Ta tính được \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} =1\cdot(-4)+4\cdot(-16)+0\cdot17=-68, |\overrightarrow{u}|=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17},\qquad |\overrightarrow{v}|=\sqrt{(-4)^2+(-16)^2+17^2}=\sqrt{561}=\sqrt{17\cdot33}. Do đó \cos\alpha=\dfrac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|}=\dfrac{-68}{\sqrt{17}\sqrt{561}}=-\dfrac{4}{\sqrt{33}}. Suy ra \alpha=\arccos\left(-\dfrac{4}{\sqrt{33}}\right)\approx 134{,}13^\circ. Kiểm tra lại phép tính cho cùng kết quả này, nên làm tròn đến hàng đơn vị được 134^\circ.

✅ Đáp án: \alpha \approx 134^\circ.