5
Câu 5
Một đường hầm hiện đại được thiết kế với mặt đáy là hình thang ACDF vuông tại A và C với AF\parallel CD. Xét một thiết diện bất kì của đường hầm vuông góc với AC là một hình phẳng giới hạn bởi đường cong (P), đoạn BE và đoạn BG như hình vẽ với G\in (P). Giả sử (P) là một nhánh của parabol có đỉnh S và hình chiếu của S trên mặt nền là H, E là chân của parabol với E\in (P) và thuộc mặt đáy thì SH=2EH. Một mặt bên đường hầm có dạng mặt phẳng vuông góc với mặt đáy chứa đường thẳng AC, gọi B là hình chiếu vuông góc của G xuống mặt phẳng đáy thì BE=BG và B thuộc đoạn AC. Biết AC=20 mét, AF=2CD=10 m, tính thể tích đường hầm trên và làm tròn đến hàng đơn vị của \text{m}^3.
Một đường hầm hiện đại được thiết kế với mặt đáy là hình thang ACDF vuông tại A và C với AF\parallel CD. Xét một thiết diện bất kì của đường hầm vuông góc với AC là một hình phẳng giới hạn bởi đường cong (P), đoạn BE và đoạn BG như hình vẽ với G\in (P). Giả sử (P) là một nhánh của parabol có đỉnh S và hình chiếu của S trên mặt nền là H, E là chân của parabol với E\in (P) và thuộc mặt đáy thì SH=2EH. Một mặt bên đường hầm có dạng mặt phẳng vuông góc với mặt đáy chứa đường thẳng AC, gọi B là hình chiếu vuông góc của G xuống mặt phẳng đáy thì BE=BG và B thuộc đoạn AC. Biết AC=20 mét, AF=2CD=10 m, tính thể tích đường hầm trên và làm tròn đến hàng đơn vị của \text{m}^3.
Your answer:1167
Giải thích câu 5
Giải thích chi tiết
😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!
📃 Thông tin đề bài cho:
AC=20\text{ m},\ AF=10\text{ m},\ 2CD=10\text{ m}\Rightarrow CD=5\text{ m}
Mỗi thiết diện vuông góc với AC là hình phẳng được giới hạn bởi một nhánh parabol, đoạn BE và đoạn BG.
BE=BG.
Nếu S là đỉnh parabol và H là hình chiếu của S trên mặt nền thì SH=2EH.
❓ Hiểu câu hỏi:
Ta cần tính thể tích của đường hầm.
Muốn tính thể tích, ta sẽ làm đúng theo ý em muốn: trước hết tính diện tích một mặt cắt theo vị trí trên AC, sau đó lấy tích phân một biến để ra thể tích.
Vì mặt đáy là hình thang nên độ dài BE sẽ thay đổi theo vị trí của điểm B trên AC.
🔎 Hướng dẫn cách làm:
Trên mặt đáy, đặt hệ trục sao cho A(0,0),\ C(20,0),\ F(0,10),\ D(20,5).
Gọi B(x,0) với 0\le x\le 20. Khi đó x=AB.
Cạnh FD đi qua F(0,10) và D(20,5) nên có hệ số góc \frac{5-10}{20-0}=-\frac{1}{4}, do đó phương trình là y=10-\frac{x}{4}.
Đường qua B vuông góc với AC cắt FD tại E, nên độ dài đoạn cắt trong đáy là BE=10-\frac{x}{4}.
Xét thiết diện tại vị trí đang chọn. Đặt hệ trục ngay trong thiết diện với gốc tại E, trục hoành trùng với EB, trục tung thẳng đứng lên trên. Đặt t=BE=BG.
Khi đó ta có E(0,0),\ B(t,0),\ G(t,t).
Gọi H(h,0) là hình chiếu của đỉnh S xuống đáy của thiết diện. Vì SH=2EH nên S(h,2h).
Parabol có trục song song với trục tung nên có dạng y=a(u-h)^2+2h.
Vì điểm E(0,0) thuộc parabol nên 0=ah^2+2h\Rightarrow a=-\frac{2}{h}.
Vì điểm G(t,t) thuộc parabol nên t=-\frac{2}{h}(t-h)^2+2h.
Giải phương trình trên: t=-\frac{2}{h}(t^2-2th+h^2)+2h=-\frac{2t^2}{h}+4t.
Suy ra \frac{2t^2}{h}=3t\Rightarrow h=\frac{2t}{3}.
Vậy phương trình parabol là y=-\frac{3}{t}\left(u-\frac{2t}{3}\right)^2+\frac{4t}{3}=-\frac{3u^2}{t}+4u.
Diện tích thiết diện chính là diện tích phần nằm dưới cung parabol từ u=0 đến u=t, nên A(x)=\int_0^t\left(-\frac{3u^2}{t}+4u\right),du.
Tính tích phân này được A(x)=\left[-\frac{u^3}{t}+2u^2\right]_0^t=-t^2+2t^2=t^2.
Do đó A(x)=BE^2=\left(10-\frac{x}{4}\right)^2.
Thể tích đường hầm là tổng các diện tích thiết diện theo chiều dài AC, nên V=\int_0^{20}\left(10-\frac{x}{4}\right)^2dx.
Khai triển ra: V=\int_0^{20}\left(100-5x+\frac{x^2}{16}\right)dx.
Tính được V=\left[100x-\frac{5x^2}{2}+\frac{x^3}{48}\right]_0^{20}=2000-1000+\frac{8000}{48}=\frac{3500}{3}\text{ m}^3.
Suy ra V\approx 1166{,}67\text{ m}^3.
Làm tròn đến hàng đơn vị: V\approx 1167\text{ m}^3.
✅ Đáp án: 1167\text{ m}^3