Chú kiến bị lạc tổ, chú đang loay hoay để tìm tổ. Chú đi theo suy đoán và đặt hệ trục tọa độ Oxy thì đường đi của chú có quỹ đạo là 1 phần đường cong đồ thị của hàm số có công thức y=f(x)=a(x-b)^2 (với a, b là các số thực dương). Hàm số y=f(x) có tính chất: Với số thực k gọi hàm số g(k)=\max_{[k;k+2]} f(x)-\min_{[k;k+2]} f(x). Hàm số g(k) thỏa mãn \begin{cases}g(3)=a\\g(2)+g(6)=32\end{cases}. Biết tổ của chú nằm ngay tại gốc tọa độ O. Thời điểm 9h sáng chú đang ở vị trí A (hình vẽ). Khoảng cách giữa chú kiến và tổ của mình là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Đường đi của chú kiến theo đồ thị hàm số y=f(x)=a(x-b)^2 với a>0,\ b>0.

• Định nghĩa g(k)=\max_{[k,k+2]} f(x)-\min_{[k,k+2]} f(x) cho mọi số thực k.

• Điều kiện: \begin{cases} g(3)=a \\ g(2)+g(6)=32 \end{cases}.

• Hình vẽ cho biết điểm A nằm trên đồ thị và có hoành độ x_A=7 (quan sát từ đường nét đứng hạ xuống trục hoành ghi số 7).

• Tổ của chú là tại gốc tọa độ O(0,0). Yêu cầu: khoảng cách từ A đến O, kết quả làm tròn đến hàng phần chục.

❓ Hiểu câu hỏi:

• Cần tìm tham số a và b của hàm số dựa trên các giá trị của hàm g(k).

• Dùng giá trị x_A=7 từ hình để tính y_A=f(7), rồi tính khoảng cách OA bằng công thức khoảng cách trong tọa độ.

• Các kiến thức cần: đồ thị Parabol dạng chuẩn, vị trí đỉnh, tính giá trị cực tiểu/cực đại trên đoạn, công thức khoảng cách \sqrt{x^2+y^2}.

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Xét hàm f(x)=a(x-b)^2 với a>0 nên parabol quay lên và giá trị nhỏ nhất là f(b)=0 tại đỉnh x=b.

• Vì g(3)=a, xét đoạn [3,5]:

  • Nếu b\in[3,5] thì \min_{[3,5]}f(x)=0 và g(3)=\max(f(3),f(5))-0=a\max((3-b)^2,(5-b)^2).

  • Ta có a\max((3-b)^2,(5-b)^2)=a\implies \max((3-b)^2,(5-b)^2)=1. Điều này xảy ra khi và chỉ khi b=4 (vì tại b=4 hai khoảng cách đến 3 và 5 đều là 1).

• Vậy suy ra \boxed{b=4}.

• Tính g(2) và g(6) với b=4:

  • Đoạn [2,4] chứa đỉnh tại 4 (điểm cực tiểu), nên \min f=0, \max f=f(2)=a(2-4)^2=4a ⇒ g(2)=4a.

  • Đoạn [6,8] không chứa đỉnh và gia tăng khi ra xa đỉnh: f(6)=a(6-4)^2=4a,\ f(8)=a(8-4)^2=16a ⇒ g(6)=16a-4a=12a.

• Dùng điều kiện g(2)+g(6)=32 ta có 4a+12a=16a=32\implies a=2.

• Vậy hàm số là \displaystyle f(x)=2(x-4)^2.

• Từ hình, hoành độ của điểm A là x_A=7, nên tung độ y_A=f(7)=2(7-4)^2=2\cdot 9=18. Do đó A(7,18).

• Khoảng cách từ O(0,0) đến A là

  OA=\sqrt{7^2+18^2}=\sqrt{49+324}=\sqrt{373}\approx 19{.}31.

• Yêu cầu làm tròn đến hàng phần chục (làm tròn tới chục gần nhất): 19{.}31\to 20.

✅ Đáp án: 20