Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 1, \widehat{BAD}=60^{\circ}, SA=1 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến (SCD) bằng? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 1.

• Góc \widehat{BAD}=60^\circ.

• SA=1 và SA\perp (ABCD).

• Cần tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) (làm tròn đến hàng phần trăm).

❓ Hiểu câu hỏi:

• Ta cần tính d\big(B,(SCD)\big).

• Kiến thức dùng: tọa độ trong không gian (hoặc vectơ pháp tuyến mặt phẳng) và công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Đặt hệ trục tọa độ sao cho mặt phẳng đáy là Oxy, lấy A(0,0,0),\quad S(0,0,1) (vì SA=1 và SA\perp (ABCD)).

• Chọn AB trùng trục Ox, nên B(1,0,0).

• Vì AD=1 và \widehat{BAD}=60^\circ nên D\left(\cos60^\circ,\ \sin60^\circ,\ 0\right)=\left(\frac12,\ \frac{\sqrt3}{2},\ 0\right).

• Do ABCD là hình thoi (cũng là hình bình hành) nên C=B+D=\left(\frac32,\ \frac{\sqrt3}{2},\ 0\right).

• Lập vectơ chỉ phương trong mặt phẳng (SCD): \overrightarrow{DC}=C-D=(1,0,0),\quad \overrightarrow{DS}=S-D=\left(-\frac12,-\frac{\sqrt3}{2},1\right).

• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SCD) là tích có hướng: \vec n=\overrightarrow{DC}\times \overrightarrow{DS}=(0,2,\sqrt3)\quad (\text{lấy cùng phương}).

• Phương trình mặt phẳng qua D\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2},0\right): 0(x-\tfrac12)+2\left(y-\tfrac{\sqrt3}{2}\right)+\sqrt3(z-0)=0 \Rightarrow 2y+\sqrt3 z-\sqrt3=0.

• Khoảng cách từ B(1,0,0) đến mặt phẳng 2y+\sqrt3 z-\sqrt3=0 là:

• d=\frac{|2\cdot0+\sqrt3\cdot0-\sqrt3|}{\sqrt{0^2+2^2+(\sqrt3)^2}}=\frac{\sqrt3}{\sqrt7}=\sqrt{\frac{3}{7}}\approx0,65465.

• Làm tròn đến hàng phần trăm: d\approx0,65

✅ Đáp án: \boxed{0,65}