Một người dùng ba loại nguyên liệu A,B,C để sản xuất ra hai loại sản phẩm P và Q. Để sản xuất 1kg mỗi loại sản phẩm P hoặc Q phải dùng một số kilôgam nguyên liệu khác nhau. Tổng số kilôgam nguyên liệu mỗi loại mà người đó có và số kilôgam từng loại nguyên liệu cần thiết để sản xuất ra 1kg sản phẩm mỗi loại được cho trong bảng sau: Loại nguyên liệu A,B,C; Số kilôgam nguyên liệu đang có: A:10,\ B:4,\ C:12; Số kilôgam từng loại nguyên liệu cần để sản xuất 1kg sản phẩm: P:(2,0,2),\ Q:(2,2,4). Biết 1kg sản phẩm P có lợi nhuận 3 triệu đồng và 1kg sản phẩm Q có lợi nhuận 5 triệu đồng. Người đó đã lập được phương án sản xuất hai loại sản phẩm trên sao cho có lãi cao nhất. Hỏi lãi cao nhất bằng bao nhiêu triệu đồng?

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Ba loại nguyên liệu: A, B, C; số kilôgam đang có: A: 10, B: 4, C: 12. (đã cho trong bảng/ảnh)

• Số kilôgam từng loại nguyên liệu cần để sản xuất 1 kg sản phẩm: P: (2, 0, 2) tương ứng với A, B, C; Q: (2, 2, 4).

• Lợi nhuận: 1 kg P cho 3 triệu đồng, 1 kg Q cho 5 triệu đồng.

❓ Hiểu câu hỏi:

• Cần tìm số kg sản phẩm P và Q (gọi là x và y) sao cho lợi nhuận tổng được tối đa, thỏa mãn các ràng buộc về nguyên liệu.

• Áp dụng kiến thức: bài toán tối ưu tuyến tính hai biến — xét miền khả thi xác định bởi bất đẳng thức, kiểm tra các đỉnh để tìm giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu.

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Gọi x = số kg sản phẩm P, y = số kg sản phẩm Q.

• Viết các ràng buộc theo nguyên liệu (từ bảng/ảnh):

  \begin{cases} 2x+2y \le 10 &\text{(Nguyên liệu A)}\\[4pt] 0x+2y \le 4 &\text{(Nguyên liệu B)}\\[4pt] 2x+4y \le 12 &\text{(Nguyên liệu C)}\\[4pt] x\ge 0,\ y\ge 0 \end{cases}

• Hàm mục tiêu (lợi nhuận) cần tối đa hóa: Z = 3x + 5y.

• Đơn giản hóa ràng buộc:

  • x+y \le 5 (chia ràng buộc A cho 2),

  • y \le 2 (từ B),

  • x+2y \le 6 (chia C cho 2).

• Xác định các đỉnh (giao điểm) của miền khả thi:

• 

  • (0,0)

  • (5,0) từ x+y=5 với y=0

  • (4,1) giao của x+y=5 và x+2y=6 (từ trừ: y=1, x=4)

  • (2,2) giao của y=2 và x+2y=6 (ra x=2)

  • (0,2) giao của x=0 và y=2

• Tính lợi nhuận tại mỗi đỉnh:

  • (0,0): Z=0

  • (5,0): Z=3\cdot5+5\cdot0=15

  • (4,1): Z=3\cdot4+5\cdot1=12+5=17

  • (2,2): Z=3\cdot2+5\cdot2=6+10=16

  • (0,2): Z=3\cdot0+5\cdot2=10

• Chọn giá trị lớn nhất: Z_{\max}=17 tại điểm (x,y)=(4,1) (sản xuất 4 kg P và 1 kg Q).

✅ Đáp án: 17 (triệu đồng)