Câu 9

Nguyên hàm của hàm số f(x)=2^x là

2^x+C.

\dfrac{2^{x+1}}{x+1}+C.

2^x\ln2+C.

\dfrac{2^x}{\ln2}+C.

Giải thích câu 9

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

❓ Hiểu câu hỏi:

Câu hỏi yêu cầu tìm một nguyên hàm của hàm số f(x)=2^x (tức là một hàm F(x) sao cho F'(x)=2^x).
Cần vận dụng kiến thức về tích phân/đạo hàm của hàm mũ cơ bản: hàm mũ với cơ số e và công thức đạo hàm/đẳng thức chuyển đổi a^x=e^{x\ln a}.

🔎 Hướng dẫn cách làm:

Viết lại 2^x dưới dạng hàm mũ cơ số e: 2^x=e^{x\ln2}.
Áp dụng công thức nguyên hàm của e^{kx}: \int e^{kx}\,dx=\frac{1}{k}e^{kx}+C.
Với k=\ln2 ta có \int 2^x\,dx=\int e^{x\ln2}\,dx=\frac{1}{\ln2}e^{x\ln2}+C.
Quay lại dạng cơ số 2: \frac{1}{\ln2}e^{x\ln2}=\frac{2^x}{\ln2}.
Kiểm tra đạo hàm: \frac{d}{dx}\left(\frac{2^x}{\ln2}+C\right)=\frac{1}{\ln2}\cdot 2^x\ln2=2^x, đúng như yêu cầu.
Nhận xét các đáp án sai trong các lựa chọn khác:
- Nếu nguyên hàm là 2^x+C thì đạo hàm của nó là 2^x\ln2 ≠ 2^x, nên sai.
- Nếu là 2^x\ln2+C thì đạo hàm là 2^x(\ln2)^2, cũng sai.
- Dạng \dfrac{2^{x+1}}{x+1}+C không hợp lý (không phải tích phân của hàm mũ cơ bản).

✅ Đáp án: D. \dfrac{2^x}{\ln2}+C