Ông An có một thanh đá thạch anh màu xanh ngọc dạng hình lăng trụ đứng OAB.O'A'B', trong đó OA=OB=2\text{ dm},\ \widehat{AOB}=120^\circ,\ OO'=4\text{ dm}. Ông mang thanh thạch anh này đến tiệm chuyên gia công và sản xuất đồ lưu niệm yêu cầu chủ tiệm phân chia thanh đá thành ba phần bởi hai mặt phẳng (CAB) và (DAB) sao cho tam giác CAB vuông, tam giác DAB đều. Sau đó, làm một quả cầu pha lê ngoại tiếp khối thạch anh ABCD (4 điểm A,B,C,D thuộc mặt cầu, xem hình minh họa). Chủ tiệm định giá tiền hoàn thành món hàng bằng bình phương thể tích khối thạch anh ABCD\ (\text{dm}^3) cộng với bình phương bán kính mặt cầu (dm) ngoại tiếp khối đó rồi nhân với 60 nghìn đồng ((V_{ABCD}^2 + R^2)\cdot 60,000). Hỏi ông An phải trả bao nhiêu nghìn đồng cho món đồ lưu niệm của mình?

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Thanh thạch anh có dạng hình lăng trụ đứng (OAB.O'A'B').

• OA = OB = 2\ \text{(dm)}

• \widehat{AOB} = 120^\circ

• OO' = 4\ \text{(dm)}

• Mặt phẳng (CAB) sao cho tam giác (CAB) vuông.

• Mặt phẳng (DAB) sao cho tam giác (DAB) đều.

• Tạo tứ diện (ABCD) và dựng mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.

• Giá tiền được tính theo công thức: \left(V_{ABCD}^2 + R^2\right)\cdot 60,000

❓ Hiểu câu hỏi:

• Bài toán yêu cầu tính số tiền (đồng) ông An phải trả để hoàn thành món đồ lưu niệm.

• Để giải bài này, học sinh cần vận dụng:

  • Công thức độ dài cạnh trong tam giác.

  • Công thức diện tích tam giác.

  • Công thức thể tích tứ diện: V=\dfrac13\cdot S_{\text{đáy}}\cdot h

  • Kiến thức về mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Bước 1. Tính độ dài cạnh (AB) trong tam giác (OAB): AB=\sqrt{OA^2+OB^2-2\cdot OA\cdot OB\cos120^\circ}=2\sqrt3

• Bước 2. Tính các cạnh trong hai tam giác đặc biệt:

  • Vì tam giác (CAB) vuông tại (C): CA=CB=\dfrac{AB}{\sqrt2}=\sqrt6

  • Vì tam giác (DAB) đều: DA=DB=AB=2\sqrt3

• Bước 3. Tính diện tích các tam giác: S_{\triangle OAB}=\dfrac12\cdot OA\cdot OB\cdot\sin120^\circ=\sqrt3 S_{\triangle CAB}=\dfrac12\cdot CA\cdot CB=3 S_{\triangle DAB}=\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot AB^2=3\sqrt3

• Bước 4. Gọi (M) là trung điểm của (AB), suy ra AB\perp CCM. Từ quan hệ hình chiếu và góc giữa hai mặt phẳng, ta có: \sin\alpha=\dfrac{\sqrt6}{9}

• Bước 5. Tính chiều cao CH của tứ diện: CH=CM\cdot\sin\alpha=\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt6}{9}

• Bước 6. Tính thể tích tứ diện (ABCD): V_{ABCD}=\dfrac13\cdot S_{\triangle DAB}\cdot CH=\dfrac{\sqrt6}{3} V_{ABCD}^2=\dfrac23

• Bước 7. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện: R^2=\dfrac{33}{2}

• Bước 8. Tính số tiền phải trả: \left(V_{ABCD}^2+R^2\right)\cdot60,000=\left(\dfrac23+\dfrac{33}{2}\right)\cdot60,000

✅ Đáp án: \boxed{1,030,000\ \text{đồng}}