4
Câu 4
Một loại gạch men có kích thước hình vuông 60\times60\ \text{cm}. Người ta thiết kế hoa văn cho viên gạch bằng cách tạo đường tròn (C_1) nội tiếp hình vuông ban đầu, phần nằm ngoài đường tròn (C_1) mà thuộc viên gạch thì được tô màu đậm. Tiếp theo họ tạo ra một hình vuông nội tiếp đường tròn (C_1), bên trong hình vuông này lại có một đường tròn nội tiếp (C_2); và họ tiếp tục tô màu đậm cho phần nằm ngoài đường tròn (C_2) mà thuộc hình vuông này. Quy luật này cứ thế tiếp tục vô hạn lần (tham khảo hình vẽ). Hỏi tổng diện tích thuộc về viên gạch được tô màu đậm là bao nhiêu cm^2? Kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị của cm^2.
Một loại gạch men có kích thước hình vuông 60\times60\ \text{cm}. Người ta thiết kế hoa văn cho viên gạch bằng cách tạo đường tròn (C_1) nội tiếp hình vuông ban đầu, phần nằm ngoài đường tròn (C_1) mà thuộc viên gạch thì được tô màu đậm. Tiếp theo họ tạo ra một hình vuông nội tiếp đường tròn (C_1), bên trong hình vuông này lại có một đường tròn nội tiếp (C_2); và họ tiếp tục tô màu đậm cho phần nằm ngoài đường tròn (C_2) mà thuộc hình vuông này. Quy luật này cứ thế tiếp tục vô hạn lần (tham khảo hình vẽ). Hỏi tổng diện tích thuộc về viên gạch được tô màu đậm là bao nhiêu cm^2? Kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị của cm^2.
Your answer:1545
Giải thích câu 4
Giải thích chi tiết
😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!
📃 Thông tin đề bài cho:
Viên gạch là hình vuông cạnh 60\text{ cm}.
Vẽ đường tròn C_1 nội tiếp hình vuông lớn.
Tô màu đậm phần nằm ngoài C_1 nhưng thuộc hình vuông.
Tiếp tục: vẽ hình vuông nội tiếp C_1, rồi vẽ đường tròn C_2 nội tiếp hình vuông đó, lại tô phần ngoài C_2 thuộc hình vuông đó.
Quy luật lặp vô hạn.
Hỏi tổng diện tích phần tô màu đậm (làm tròn đến đơn vị \text{cm}^2).
❓ Hiểu câu hỏi:
Mỗi “vòng” tô màu là: diện tích hình vuông trừ diện tích đường tròn nội tiếp hình vuông đó.
Ta cần cộng vô hạn các diện tích kiểu này theo một cấp số nhân.
🔎 Hướng dẫn cách làm:
Gọi cạnh hình vuông ban đầu là s_0=60.
Với hình vuông cạnh s:
Diện tích hình vuông: S_{\square}=s^2.
Đường tròn nội tiếp có bán kính r=\frac{s}{2} nên: S_{\circ}=\pi r^2=\pi\left(\frac{s}{2}\right)^2=\frac{\pi s^2}{4}.
Diện tích tô ở “vòng” đó: \Delta(s)=S_{\square}-S_{\circ}=s^2-\frac{\pi s^2}{4}=s^2\left(1-\frac{\pi}{4}\right).
Tìm quy luật cạnh các hình vuông:
Hình vuông nội tiếp đường tròn bán kính \frac{s}{2} có đường chéo bằng đường kính s, nên cạnh mới: s_{\text{mới}}=\frac{s}{\sqrt{2}}.
Do đó: s_n=\frac{60}{(\sqrt{2})^n}.
Diện tích tô ở vòng n: \Delta_n=s_n^2\left(1-\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{60^2}{2^n}\right)\left(1-\frac{\pi}{4}\right).
Tổng diện tích tô màu: S=\sum_{n=0}^{\infty}\Delta_n=60^2\left(1-\frac{\pi}{4}\right)\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}.
Vì: \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}=\frac{1}{1-\frac12}=2, nên: S=60^2\left(1-\frac{\pi}{4}\right)\cdot 2=7200\left(1-\frac{\pi}{4}\right).
Tính gần đúng: S\approx 7200\left(1-\frac{3{,}1416}{4}\right)=7200(1-0{,}7854)=7200\cdot 0{,}2146\approx 1545{,}1.
Làm tròn đến đơn vị: S\approx 1545\ (\text{cm}^2).
✅ Đáp án: 1545\text{ cm}^2.