Bạn Hoa thường đi bơi ở hồ Sky Garden cạnh nhà, hồ bơi có thiết kế là một hình chữ nhật với chiều dài 25m, chiều rộng 15,5m và bên cạnh đó là một hình bán nguyệt đường kính 10m. Trong một lần bé bơi vắng người nên Hoa đã thực hiện một chu trình là bơi theo đoạn thẳng AC rồi bơi tiếp đoạn thẳng CM, với M là một vị trí bất kỳ trên hình bán nguyệt. Ngay sau đó bạn đi bộ theo một hướng qua điểm D dọc bờ của hồ bơi để quay lại vị trí A và kết thúc chu trình. (tham khảo hình vẽ). Biết rằng vận tốc bơi của Hoa là 2,4 km/h, vận tốc đi bộ là 4,8 km/h và tốc độ bơi, vận tốc đi bộ không thay đổi trong một chu trình. Hỏi thời gian chậm nhất để Hoa thực hiện xong chu trình trên là bao nhiêu phút? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Hồ bơi gồm:

  • Một hình chữ nhật có AB = 25,\text{m}, AE = 15{,}5,\text{m}.

  • Gắn thêm một hình bán nguyệt đường kính CD = 10,\text{m}.

• Hoa thực hiện một chu trình:

  • Bơi theo đoạn AC.

  • Bơi tiếp theo đoạn CM, với M là điểm bất kỳ trên bán nguyệt.

  • Đi bộ dọc bờ hồ theo MD, DE, EA để quay lại A.

• Vận tốc:

  • Bơi: 2{,}4,\text{km/h}.

  • Đi bộ: 4{,}8,\text{km/h}.

• Hỏi thời gian chậm nhất để Hoa hoàn thành chu trình (làm tròn đến hàng phần chục phút).

❓ Hiểu câu hỏi:

• Vì vận tốc bơi và đi bộ không đổi, nên:

  • Thời gian lớn nhất ⇔ biểu thức thời gian đạt giá trị lớn nhất.

• Do các đoạn AC, DE, EA là cố định, nên thời gian lớn nhất phụ thuộc vào vị trí điểm M trên bán nguyệt.

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Bước 1: Đổi đơn vị vận tốc 2{,}4,\text{km/h}=\dfrac{2}{3},\text{m/s} 4{,}8,\text{km/h}=\dfrac{4}{3},\text{m/s}

• Bước 2: Biểu diễn tổng thời gian

  • Tổng quãng đường Hoa đi: AC + CM + MD + DE + EA

  • Tổng thời gian: T=\dfrac{AC+CM}{\frac{2}{3}}+\dfrac{MD+DE+EA}{\frac{4}{3}}

• Bước 3: Xác định phần cần tối ưu

  • Vì AC, DE, EA không đổi nên T_{\max} khi: \dfrac{CM}{\frac{2}{3}}+\dfrac{MD}{\frac{4}{3}}=\dfrac{3}{2}CM+\dfrac{3}{4}MD đạt giá trị lớn nhất.

• Bước 4: Đặt biến hình học

  • Đặt \angle MCD=\alpha với 0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}.

  • Khi đó \angle MOD=2\alpha.

  • Suy ra: CM=10\cos\alpha MD=10\alpha

• Bước 5: Lập hàm số cần tối ưu f(\alpha)=\dfrac{3}{2}CM+\dfrac{3}{4}MD=15\cos\alpha+\dfrac{15}{2}\alpha

• Bước 6: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f'(\alpha)=-15\sin\alpha+\dfrac{15}{2} f'(\alpha)=0 \Rightarrow \sin\alpha=\dfrac{1}{2} \Rightarrow \alpha=\dfrac{\pi}{6}

• Bước 7: Tính thời gian lớn nhất T_{\max}=\dfrac{3\sqrt{25^2+15{,}5^2}}{2}+\dfrac{15}{2}\left(\sqrt{3}+\dfrac{\pi}{6}\right)+\dfrac{3(15+15{,}5)}{4} T_{\max}\approx83{,}9,\text{giây}

• Bước 8: Đổi sang phút 83{,}9,\text{giây}\approx1{,}4,\text{phút}

✅ Đáp án: \boxed{1{,}4\ \text{phút}}