4
Câu 4
Người ta lát gạch trang trí một mảnh sàn hình chữ nhật có kích thước 14m \times 12m như hình vẽ bên dưới, trong đó (P_1),\ (P_2) là hai parabol đối xứng qua trục đối xứng vuông góc với chiều dài mảnh sàn, (C) là đường tròn có tâm trùng với tâm của mảnh sàn và lần lượt có duy nhất một điểm chung với các parabol đó (Tham khảo hình vẽ, biết phần gạch đậm là phần lát gạch). Chi phí cho phần lát gạch là 240 nghìn đồng một mét vuông. Trong trường hợp hình tròn (C) có diện tích lớn nhất thì chi phí lát gạch là bao nhiêu triệu đồng? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Người ta lát gạch trang trí một mảnh sàn hình chữ nhật có kích thước 14m \times 12m như hình vẽ bên dưới, trong đó (P_1),\ (P_2) là hai parabol đối xứng qua trục đối xứng vuông góc với chiều dài mảnh sàn, (C) là đường tròn có tâm trùng với tâm của mảnh sàn và lần lượt có duy nhất một điểm chung với các parabol đó (Tham khảo hình vẽ, biết phần gạch đậm là phần lát gạch). Chi phí cho phần lát gạch là 240 nghìn đồng một mét vuông. Trong trường hợp hình tròn (C) có diện tích lớn nhất thì chi phí lát gạch là bao nhiêu triệu đồng? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Your answer:12,4
Giải thích câu 4
Giải thích chi tiết
😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!
📃 Thông tin đề bài cho:
Mảnh sàn hình chữ nhật kích thước 14 m × 12 m ⇒ diện tích 168 m².
Hai parabol (P₁), (P₂) đối xứng qua trục trung hoành, giới hạn hai vùng cần lát gạch ở hai đầu.
Đường tròn (C) tâm trùng tâm hình chữ nhật, tiếp xúc mỗi parabol đúng một điểm ⇒ đường tròn nội tiếp.
Đơn giá lát gạch: 240 nghìn đồng/m².
Yêu cầu: Tính chi phí lát gạch khi diện tích (C) đạt lớn nhất (làm tròn đến hàng chục triệu đồng).
❓ Hiểu câu hỏi:
Phải tìm bán kính r sao cho đường tròn C\colon x^2+y^2=r^2 nội tiếp hai parabol ⇒ S_C=\pi r^2 cực đại.
Sau đó tính diện tích toàn phần lát gạch gồm hai vùng ngoài parabol và vùng hình tròn.
Cuối cùng nhân với 240 nghìn đồng/m² và đổi ra triệu đồng, làm tròn đến hàng chục.
🔎 Hướng dẫn cách làm:
Bước 1: Đặt hệ tọa độ Oxy với O là tâm hình chữ nhật, x ngang, y dọc. Viết phương trình hai parabol dạng P_1:\;y=6 - a\,x^2,\qquad P_2:\;y=-6 + a\,x^2\,.
Bước 2: Viết phương trình đường tròn C:\;x^2+y^2=r^2 và dùng điều kiện tiếp xúc (hệ có nghiệm kép) để tìm mối liên hệ r^2=\frac{24a-1}{4a^2}\,.
Bước 3: Khảo sát hàm r^2(a) ⇒ cực đại khi a=\frac1{12}\quad\Longrightarrow\quad r_{\max}=6\;(m).
⇒ Diện tích hình tròn lớn nhất S_C=\pi\cdot6^2=36\pi\;(m^2).
Bước 4: Tính diện tích hai vùng ngoài parabol (có thể dùng tích phân hoặc công thức tính diện tích hình parabol) ⇒ kết quả là S_{\text{vùng parabol}}\approx51.67-36\pi\;(m^2).
Bước 5: Tổng diện tích lát gạch S_{\text{gạch}}=S_{\text{vùng parabol}}+S_C\approx51.67\;(m^2).
Bước 6: Chi phí lát gạch 51.67\;\times\;240\;\approx12\,400\;\text{(nghìn đồng)}=12.4\;\text{triệu đồng}\, (làm tròn đến hàng chục).
✅ Đáp án: 12,4 triệu đồng.