Một nhà địa chất học đang ở tại điểm A trên sa mạc. Anh ta muốn đến điểm B và cách A một đoạn là 70km. Trong sa mạc thì xe anh ta chỉ có thể di chuyển với vận tốc là 30km/h. Nhà địa chất phải đến được điểm B sau 2 giờ. Vì vậy, anh ta đi từ A đến B sẽ không thể đến đúng giờ được. May mắn thay, có một con đường nhựa song song với đường nối A và B và cách AB khoảng 10km. Trên đường nhựa đó thì xe địa chất này có thể di chuyển với vận tốc 50km/h. Hỏi thời gian ngắn nhất để di chuyển từ A đến B là bao nhiêu phút?

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Một nhà địa chất học cần đi từ điểm A đến điểm B trên sa mạc, AB = 70 km.

• Trên sa mạc: tốc độ di chuyển là 30 km/h.

• Có một đường nhựa thẳng, song song với AB và cách AB 10 km, xe có thể chạy với tốc độ 50 km/h.

• Cần tìm: thời gian ngắn nhất để đi từ A đến B bằng cách sử dụng đường nhựa (nếu cần), tính bằng phút.

❓ Hiểu câu hỏi:

• Cần phân tích hành trình di chuyển gồm:

  • Từ A → C (trên sa mạc)

  • C → D (trên đường nhựa)

  • D → B (trên sa mạc)

• Tối ưu tổng thời gian: T = \dfrac{AC}{30} + \dfrac{CD}{50} + \dfrac{DB}{30}

🔎 Hướng dẫn cách làm:

👉 Bước 1: Dựng hình và gọi biến

• Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống đường nhựa.

• Gọi K là hình chiếu vuông góc của B xuống đường nhựa.

• Đặt:

  • HC = x với 0 < x < 70

  • DK = y với 0 < y < 70

Khi đó:

• AC = \sqrt{10^2 + x^2} = \sqrt{100 + x^2}

• BD = \sqrt{10^2 + y^2} = \sqrt{100 + y^2}

• Đoạn đường nhựa CD = HK - (HC + DK) = 70 - (x + y)

👉 Bước 2: Biểu thức thời gian

• t_{AC} = \dfrac{AC}{30} = \dfrac{\sqrt{100 + x^2}}{30}

• t_{DB} = \dfrac{BD}{30} = \dfrac{\sqrt{100 + y^2}}{30}

• t_{CD} = \dfrac{70 - (x + y)}{50}

Tổng thời gian:

T = \dfrac{\sqrt{100 + x^2}}{30} + \dfrac{\sqrt{100 + y^2}}{30} + \dfrac{70 - (x + y)}{50}

Rút gọn:

T = \left( \dfrac{\sqrt{100 + x^2}}{30} + \dfrac{35 - x}{50} \right) + \left( \dfrac{\sqrt{100 + y^2}}{30} + \dfrac{35 - y}{50} \right)

Do tính đối xứng, ta xét hàm một biến: Gọi:

f(x) = \dfrac{\sqrt{100 + x^2}}{30} + \dfrac{35 - x}{50}

👉 Bước 3: Tối ưu hóa

Lấy đạo hàm:

f'(x) = \dfrac{x}{30\sqrt{100 + x^2}} - \dfrac{1}{50}

Cho f'(x) = 0:

\dfrac{x}{30\sqrt{100 + x^2}} = \dfrac{1}{50} \Rightarrow 50x = 30\sqrt{100 + x^2} \Rightarrow \dfrac{5x}{3} = \sqrt{100 + x^2}

Bình phương 2 vế:

\dfrac{25x^2}{9} = 100 + x^2 \Rightarrow 25x^2 = 900 + 9x^2 \Rightarrow 16x^2 = 900 \Rightarrow x^2 = \dfrac{225}{4} \Rightarrow x = \dfrac{15}{2} = 7.5

👉 Bước 4: Thay vào tính thời gian tối thiểu

• Tại x = y = \dfrac{15}{2}, ta có:

T = 2 \cdot \left( \dfrac{\sqrt{100 + \left(\dfrac{15}{2}\right)^2}}{30} + \dfrac{35 - \dfrac{15}{2}}{50} \right) = 2 \cdot \left( \dfrac{\sqrt{100 + \dfrac{225}{4}}}{30} + \dfrac{\dfrac{55}{2}}{50} \right)

Tính từng phần:

• \sqrt{100 + \dfrac{225}{4}} = \sqrt{\dfrac{625}{4}} = \dfrac{25}{2}

• \dfrac{25}{2} \div 30 = \dfrac{25}{60} = \dfrac{5}{12}

• \dfrac{55}{2} \div 50 = \dfrac{55}{100} = \dfrac{11}{20}

→ Tổng mỗi vế:

\dfrac{5}{12} + \dfrac{11}{20} = \dfrac{25 + 33}{60} = \dfrac{58}{60} = \dfrac{29}{30}

→ Tổng thời gian:

T = 2 \cdot \dfrac{29}{30} = \dfrac{58}{30} = \dfrac{29}{15} \text{ giờ } = \boxed{116 \text{ phút}}

✅ Đáp án: \boxed{116 \text{ phút}}

📌 Ghi nhớ: Khi có hai vùng vận tốc khác nhau và cần tối ưu hóa thời gian, nên áp dụng phản xạ và biến đổi bài toán về dạng một biến đối xứng để dễ tối ưu. Đây là một bài toán điển hình trong phần ứng dụng đạo hàm – tìm giá trị nhỏ nhất trong chương trình Giải tích lớp 12.