Một hình chữ nhật ABCD được vẽ bên trong parabol (P) sao cho A, B thuộc (P), C, D thuộc trục Ox như hình vẽ (đơn vị trên trục Ox, Oy là mét). Hình chữ nhật ABCD có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Parabol (P) có đỉnh O(0;9) và đi qua hai điểm (\pm3,0), suy ra phương trình y = -x^2 + 9.

• Hình chữ nhật ABCD nội tiếp parabol, đáy DC nằm trên trục Ox và đối xứng qua trục Oy.

• Gọi D(-x,0), C(x,0) với 0 < x < 3; đỉnh A(-x,y), B(x,y) thuộc parabol.

❓ Hiểu câu hỏi:

• Tìm giá trị x để diện tích hình chữ nhật

  S(x) = (\text{đáy}) \times (\text{chiều cao}) = 2x \cdot y

  đạt cực đại.

• Ứng dụng kiến thức về hàm số bậc hai, đạo hàm và tối ưu.

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Xác định phương trình parabol: Vì đỉnh ở (0,9) và đi qua (3,0), ta có

  y = ax^2 + bx + c,\quad b=0,\;c=9,\; 9a + 9 = 0 \;\Rightarrow\; a = -1.

  Vậy y = -x^2 + 9.

• Biểu diễn diện tích S theo x:

  S(x) = 2x \cdot y = 2x(9 - x^2) = 18x - 2x^3.

• Tính đạo hàm và tìm điểm cực trị:

  S'(x) = 18 - 6x^2,\quad S'(x) = 0 \;\Rightarrow\; x^2 = 3 \;\Rightarrow\; x = \sqrt3.

• Tính chiều cao và diện tích tương ứng:

  y = 9 - (\sqrt3)^2 = 6, \quad S_{\max} = 2\sqrt3 \times 6 = 12\sqrt3 \approx 20{,}8.

✅ Đáp án: 20,8 m²