Một khoảng sân của một ngôi nhà có hình dạng là một phần của parabol, nếu chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ bên dưới thì parabol có phương trình là y = x^2. Chủ nhà muốn thiết kế một hồ nuôi cá cạnh có dạng hình tròn bán kính 1m, hình tròn được thiết kế tiếp xúc với 2 nhánh của parabol, phía trên của hình tròn ngăn bởi một bức tường mỏng tiếp xúc với hình tròn. Phần đất còn lại của khoảng sân giới hạn bởi đường tròn, 2 nhánh của parabol và bức tường được thiết kế trồng hoa (phần gạch sọc trong hình vẽ bên dưới).

Tính diện tích mà chủ nhà thiết kế để trồng hoa, biết rằng đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Đồ thị parabol y=x^2.

• Một hình tròn bán kính R=1, tâm I(0;b) nằm trên trục tung, tiếp xúc với parabol tại hai điểm đối xứng.

• Một “bức tường” (đường thẳng) ngang tiếp xúc với điểm cao nhất của hình tròn.

❓ Hiểu câu hỏi:

• Xác định tọa độ tâm I của đường tròn sao cho nó tiếp xúc với parabol.

• Tìm phương trình của bức tường ngang tiếp xúc đỉnh trên hình tròn.

• Tìm giao điểm A, B giữa parabol và bức tường.

• Tính diện tích đoạn parabol (khoảng giữa parabol và đường thẳng) rồi trừ diện tích hình tròn.

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Giả sử đường tròn có phương trình

  x^2 + (y - b)^2 = 1.

• Gọi điểm tiếp xúc với parabol là \bigl(a,\,a^2\bigr).

  • Tọa độ nằm trên cả hai đồ thị:

    a^2 + (a^2 - b)^2 = 1.

  • Tại đó hai đồ thị có cùng tiếp tuyến. – Hệ số góc của parabol là y'=2x, tại x=a là 2a. – Hệ số góc của đường tròn từ \;2x+2(y-b)y'=0\;\implies\;y'=-\tfrac{x}{y-b}, tại (a,a^2): -\frac{a}{,a^2-b,}=2a.

• Từ hai điều kiện trên tìm a,b:

  1. -\tfrac{1}{a^2-b}=2\;\Longrightarrow\;b=a^2+\tfrac12.

  2. Thay vào a^2+(a^2-b)^2=1:

     a^2+\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^2=1\;\Longrightarrow\;a^2=\tfrac34,\; a=\tfrac{\sqrt3}{2},\; b=\tfrac34+\tfrac12=\tfrac54.

• Đỉnh trên của hình tròn: y=b+R=\tfrac54+1=\tfrac94. Đó cũng là hoành độ bức tường:

  \boxed{y=\tfrac94.}

• Giao điểm với parabol:

  x^2=\tfrac94\;\Longrightarrow\;x=\pm\tfrac32, \quad A\Bigl(-\tfrac32,\tfrac94\Bigr),\; B\Bigl(\tfrac32,\tfrac94\Bigr).

• Diện tích đoạn parabol (giữa y=x^2 và y=\tfrac94, từ -\tfrac32 đến \tfrac32)

  S_{ parabol} =\int_{-\frac32}^{\frac32}\Bigl(\tfrac94 - x^2\Bigr)\,dx =2\int_{0}^{\frac32}\Bigl(\tfrac94 - x^2\Bigr)dx =\frac92.

• Diện tích hình tròn:

  S_{ circle}=\pi\cdot1^2=\pi.

• Diện tích trồng hoa =S_{ parabol}-S_{ circle} =\frac92-\pi\approx4{,}5-3{,}1416=1{,}3584\approx1{,}36.

✅ Đáp án: 1,36 (m²)