Giả sử dân số Việt Nam được dự báo theo mô hình logistic, giai đoạn từ năm 2023 đến hết năm 2035 là hàm số P(t)=\dfrac{120}{1+0{,}2e^{-0{,}06t}} (triệu người), trong đó t là số năm tính từ đầu năm 2023. Chi phí an sinh xã hội bình quân theo đầu người được mô hình hóa bởi hàm số C(t)=25-20e^{-0{,}05t} (triệu đồng/đầu người/năm). Tính tốc độ thay đổi của tổng chi phí an sinh xã hội toàn quốc (nghìn tỷ đồng/năm) vào đầu năm 2030. (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Dân số theo mô hình logistic: P(t)=\frac{120}{1+0{,}2e^{-0{,}06t}}\quad(\text{triệu người})

• Chi phí an sinh xã hội bình quân: C(t)=25-20e^{-0{,}05t}\quad(\text{triệu đồng/người/năm})

• Thời điểm cần tính: đầu năm 2030 ⇒ t=7 (năm kể từ 2023)

• Tổng chi phí toàn quốc: T(t)=P(t)\cdot C(t)\quad(\text{triệu người}\times\text{triệu đồng/người}=\text{tỷ đồng})

❓ Hiểu câu hỏi:

• Cần tìm tốc độ thay đổi của tổng chi phí T(t), tức T'(t).

• Tính tại thời điểm t=7.

• Đơn vị kết quả: nghìn tỷ đồng/năm.

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Bước 1: Viết tổng chi phí T(t)=P(t)\,C(t)

• Bước 2: Áp dụng quy tắc nhân đạo hàm: T'(t)=P'(t)\,C(t)+P(t)\,C'(t)\,.

• Bước 3: Tính P'(t) bằng quy tắc chuỗi: P'(t) =120\cdot(-1)(1+0,2e^{-0,06t})^{-2}\cdot0,2\cdot(-0,06)e^{-0,06t} =\frac{1,44\,e^{-0,06t}}{(1+0,2e^{-0,06t})^2}.

• Bước 4: Tính C'(t): C'(t) =\frac{d}{dt}\bigl(25-20e^{-0,05t}\bigr) =20\cdot0,05e^{-0,05t} =e^{-0,05t}\,.

• Bước 5: Thay t=7 và tính gần đúng:

  • e^{-0,06\cdot7}\approx0,658,\quad e^{-0,05\cdot7}\approx0,705

  • P(7)\approx\frac{120}{1+0,2\cdot0,658}\approx106{,}08

  • C(7)\approx25-20\cdot0,705\approx10{,}9

  • P'(7)\approx\frac{1,44\cdot0,658}{(1+0,2\cdot0,658)^2}\approx0{,}7404

  • C'(7)\approx0{,}705

  • T'(7)\approx0{,}7404\cdot10{,}9+106{,}08\cdot0{,}705\approx82{,}86\ (\text{nghìn tỷ đồng/năm}).

• Bước 6: Làm tròn đến hàng đơn vị ⇒ 83 nghìn tỷ đồng/năm.

✅ Đáp án: 83