Hàm số y = \dfrac{x^2 - 3x + 5}{x + 1} nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Hàm số y = \dfrac{x^2 - 3x + 5}{x + 1}.

• Cần xác định khoảng nghịch biến của hàm số trên tập xác định.

❓ Hiểu câu hỏi:

• Tính đạo hàm của hàm phân thức.

• Xác định dấu của đạo hàm trên mỗi khoảng của tập xác định.

• Chọn khoảng mà đạo hàm âm (hàm nghịch biến).

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Bước 1: Tập xác định

  D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}.

• Bước 2: Tính đạo hàm

  y' = \frac{(2x - 3)\,(x + 1) \;-\;(x^2 - 3x + 5)\cdot 1}{(x + 1)^2}.

• Bước 3: Rút gọn tử số

  (2x - 3)(x + 1) = 2x^2 - x - 3,
  \text{Tử số} = 2x^2 - x - 3 \;-\;(x^2 - 3x + 5) = x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2).

• Bước 4: Kết quả đạo hàm

  y' = \frac{(x + 4)(x - 2)}{(x + 1)^2}.

• Bước 5: Xác định dấu của y'

  • Mẫu (x+1)^2 > 0 với mọi x \neq -1.

  • Tử số (x+4)(x-2) < 0 khi -4 < x < 2.

• Bước 6: Khoảng hàm nghịch biến

  • Hàm số nghịch biến khi y'<0 và x\neq -1.

  • Khoảng đó tách thành hai phần (-4; -1) và (-1; 2).

Trong các lựa chọn cho sẵn, chỉ có (-4; -1) là khoảng nguyên vẹn nằm trong tập xác định.

✅ Đáp án: (-4; -1)

❌ Các đáp án khác:

• A. (-\infty; 4): Chứa cả vùng hàm số tăng và không thuần nghịch biến.

• B. (-4; 2): Bao gồm x = -1 nơi hàm số không xác định.

• C. (2; +\infty): Đây là khoảng hàm số tăng, không phải nghịch biến.