3
Câu 3
Một khinh khí cầu nghiên cứu khí tượng được phóng lên để thu thập dữ liệu trong tầng bình lưu. Khí cầu này có thiết bị định vị sử dụng tín hiệu từ các vệ tinh của công ty S để xác định vị trí trong không gian. Tại thời điểm quan sát, khí cầu đang bay ở độ cao 50 km và nhận được tín hiệu từ ba vệ tinh S có tọa độ trong không gian Oxyz (đơn vị km) như sau: Vệ tinh A tại vị trí A(103; 204; 62), vệ tinh B tại vị trí B(106; 208; 74), vệ tinh C tại vị trí C(105; 212; 134). Từ thời gian truyền tín hiệu, hệ thống xác định rằng khoảng cách từ vị trí M của khinh khí cầu đến các vệ tinh là: MA = 13 km, MB = 26 km, MC = 85 km. Tính khoảng cách từ khinh khí cầu đến gốc tọa độ O (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của km).
Một khinh khí cầu nghiên cứu khí tượng được phóng lên để thu thập dữ liệu trong tầng bình lưu. Khí cầu này có thiết bị định vị sử dụng tín hiệu từ các vệ tinh của công ty S để xác định vị trí trong không gian. Tại thời điểm quan sát, khí cầu đang bay ở độ cao 50 km và nhận được tín hiệu từ ba vệ tinh S có tọa độ trong không gian Oxyz (đơn vị km) như sau: Vệ tinh A tại vị trí A(103; 204; 62), vệ tinh B tại vị trí B(106; 208; 74), vệ tinh C tại vị trí C(105; 212; 134). Từ thời gian truyền tín hiệu, hệ thống xác định rằng khoảng cách từ vị trí M của khinh khí cầu đến các vệ tinh là: MA = 13 km, MB = 26 km, MC = 85 km. Tính khoảng cách từ khinh khí cầu đến gốc tọa độ O (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của km).
Your answer:229
Giải thích câu 3
Giải thích chi tiết
😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé! Hình vẽ minh họa khinh khí cầu được kết nối bằng đường tín hiệu đến ba vệ tinh A, B, C để xác định vị trí M thông qua giao ba mặt cầu.
📃 Thông tin đề bài cho:
Khinh khí cầu M bay ở độ cao z=50 km.
Vệ tinh A tại A(103;204;62) km, B tại B(106;208;74) km, C tại C(105;212;134) km.
Khoảng cách từ M đến các vệ tinh:
MA=13 km
MB=26 km
MC=85 km
❓ Hiểu câu hỏi:
Tính khoảng cách từ khinh khí cầu M đến gốc tọa độ O.
Áp dụng công thức khoảng cách trong không gian 3 chiều và giải hệ phương trình để xác định tọa độ M(x,y,50).
🔎 Hướng dẫn cách làm:
Giả sử tọa độ khinh khí cầu là M(x,y,50).
Thiết lập ba phương trình hình cầu theo công thức
d^2 = (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2cụ thể:
\begin{cases} (x-103)^2 + (y-204)^2 + (50-62)^2 = 13^2,\\ (x-106)^2 + (y-208)^2 + (50-74)^2 = 26^2,\\ (x-105)^2 + (y-212)^2 + (50-134)^2 = 85^2. \end{cases}Tính các hằng số:
50-62=-12,\;(-12)^2=144,\;13^2=169\;\Longrightarrow\;(x-103)^2+(y-204)^2=25;50-74=-24,\;(-24)^2=576,\;26^2=676\;\Longrightarrow\;(x-106)^2+(y-208)^2=100;50-134=-84,\;(-84)^2=7056,\;85^2=7225\;\Longrightarrow\;(x-105)^2+(y-212)^2=169.Lập hai phương trình tuyến tính bằng cách trừ (2)-(1) và (3)-(2):
\begin{cases} (x-106)^2-(x-103)^2+(y-208)^2-(y-204)^2=100-25\;\Longrightarrow\;3x+4y=1100,\\ (x-105)^2-(x-106)^2+(y-212)^2-(y-208)^2=169-100\;\Longrightarrow\;x-4y=-700. \end{cases}Giải hệ
\begin{cases} 3x+4y=1100,\\ x-4y=-700 \end{cases} \;\Longrightarrow\;x=100,\;y=200.Vậy M(100;200;50).
Tính khoảng cách OM:
OM = \sqrt{100^2 + 200^2 + 50^2} = \sqrt{10000 + 40000 + 2500} = \sqrt{52500} =50\sqrt{21}\approx229{,}1\text{ km}.Làm tròn đến hàng đơn vị: 229 km.
✅ Đáp án: 229 km