Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng (-\infty; +\infty)?

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Cho bốn hàm số: • y = -x^3 - 2x + 1 • y = \frac{x - 2}{x + 1} • y = 3x^3 + 3x - 2 • y = 2x^3 - 5x + 1

• Khoảng xét tính đơn điệu: (-\infty;\,+\infty)

❓ Hiểu câu hỏi:

• Cần xác định hàm nào đồng biến (tức là tăng) trên toàn bộ trục số thực.

• Áp dụng định nghĩa đồng biến: một hàm khả vi trên khoảng nếu đạo hàm của nó luôn không âm (ở đây phải luôn dương).

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Bước 1: Tính đạo hàm của mỗi hàm. • Với y = -x^3 - 2x + 1 ta có y' = -3x^2 - 2. • Với y = \frac{x - 2}{x + 1} dùng quy tắc thương: y' = \frac{(1)(x+1) - (x-2)(1)}{(x+1)^2} = \frac{x + 1 - x + 2}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2}. • Với y = 3x^3 + 3x - 2 ta có y' = 9x^2 + 3. • Với y = 2x^3 - 5x + 1 ta có y' = 6x^2 - 5.

• Bước 2: Xét dấu của từng đạo hàm trên (-\infty;+\infty). • -3x^2 - 2 < 0\quad\forall x\in\mathbb R ⇒ hàm luôn nghịch biến. • \frac{3}{(x+1)^2} > 0\quad\forall x\ne -1 nhưng hàm không xác định tại x=-1 ⇒ không thể xét đồng biến trên toàn trục. • 9x^2 + 3 = 9x^2 + 3 > 0\quad\forall x\in\mathbb R ⇒ hàm luôn tăng trên (-\infty;+\infty). • 6x^2 - 5 có thể âm khi |x| < \sqrt{\tfrac{5}{6}} ⇒ hàm không đồng biến suốt toàn miền.

✅ Đáp án: y = 3x^3 + 3x - 2

❌ Các đáp án khác:

• A. y = -x^3 - 2x + 1: y' = -3x^2 - 2 < 0, hàm luôn nghịch biến.

• B. y = \frac{x - 2}{x + 1}: y' = \frac{3}{(x+1)^2} > 0 nhưng hàm không xác định tại x=-1.

• D. y = 2x^3 - 5x + 1: y' = 6x^2 - 5 đổi dấu với |x|<\sqrt{5/6}, không đồng biến suốt R.