Sân vận động Sport Hub (Singapore) là sân có mái vòm kỳ vĩ nhất thế giới. Đây là nơi diễn ra lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức tại Singapore năm 2015. Nền sân là một elip (E) có trục lớn dài 150m, trục bé dài 90m (hình vẽ). Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng vuông góc với trục lớn của (E) và cắt elip ở M, N (hình vẽ) thì giao của mặt phẳng đó với phần mái được thiết diện luôn là một phần của hình tròn có tâm I (phần tô đậm trong hình vẽ) với MN là một dây cung và \angle MIN = 90^\circ. Để lắp máy điều hòa không khí thì các kỹ sư cần tính thể tích khối phần không gian có mái che và bên trên mặt sân, coi như một nửa của một mặt phẳng vẽ theo thiết kế thật của sân vận động kể trên. Biết rằng các máy điều hòa có công suất là 200\ BTU/m^3. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu chiếc điều hòa có công suất 50000\ BTU?

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Sân vận động có mặt sàn là hình elip (E), trục lớn dài 150m, trục bé dài 90m

• Khi cắt elip theo mặt phẳng vuông góc trục lớn tại đoạn MN, ta được thiết diện là một phần của hình tròn tâm I, với góc ở tâm là 90^\circ

• Phần không gian dưới mặt vòm và bên trên mặt sân được dùng để lắp máy lạnh

• Cách tính công suất cần đủ là 200 \, \text{BTU}/m^3, mỗi máy có công suất 50000\, \text{BTU}

❓ Hiểu câu hỏi:

• Tính thể tích không gian dưới mái vòm (tính theo mặt cắt vuông góc trục lớn của elip)

• Dùng tích phân để tính thể tích khối

• Tính số máy điều hòa tối thiểu cần dùng

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Gọi hệ trục tọa độ sao cho tâm elip là gốc tọa độ: Phương trình elip là: \frac{x^2}{75^2} + \frac{y^2}{45^2} = 1

• Gọi d(O, MN) = x là khoảng cách từ tâm đến thiết diện cần xét Ta tìm độ dài dây cung MN = 2y = 2 \cdot 45 \sqrt{1 - \frac{x^2}{75^2}} = 90 \sqrt{1 - \frac{x^2}{75^2}}

• Đường kính thiết diện là đoạn MN, nên bán kính: R = \frac{MN}{\sqrt{2}} = \frac{90}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{1 - \frac{x^2}{75^2}} \Rightarrow R^2 = \frac{90^2}{2} \left(1 - \frac{x^2}{75^2} \right) = \frac{2025}{2} \left(1 - \frac{x^2}{75^2} \right)

• Diện tích thiết diện là 1/4 hình tròn (do góc ở tâm là 90^\circ), trừ đi tam giác vuông (vì là hình quạt): S(x) = \left( \frac{1}{4} \pi R^2 - \frac{1}{2} R^2 \right) = \left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right) R^2 = \left(\pi - 2 \right)\cdot \frac{2025}{2} \left(1 - \frac{x^2}{75^2} \right)

• Tính thể tích không gian dưới mái bằng tích phân: V = \int_{-75}^{75} S(x)\, dx = \int_{-75}^{75} \left(\pi - 2 \right)\cdot \frac{2025}{2} \left(1 - \frac{x^2}{75^2} \right) dx Đây là tích phân chẵn nên: V = 2 \int_{0}^{75} \left(\pi - 2 \right)\cdot \frac{2025}{2} \left(1 - \frac{x^2}{75^2} \right) dx = (\pi - 2)\cdot 2025 \int_{0}^{75} \left(1 - \frac{x^2}{75^2} \right) dx

  → V \approx 115586 , \text{m}^3

• Tính công suất cần: \text{Tổng công suất} = 115586 \cdot 200 = 23117200 \, \text{BTU}

• Số máy điều hòa: \text{Số máy} = \left\lceil \frac{23117200}{50000} \right\rceil = \left\lceil 462.344 \right\rceil = 463

✅ Đáp án: \boxed{463}