Người ta lát gạch trang trí một mảnh sân hình chữ nhật có kích thước 14 m × 12 m như hình vẽ bên dưới, trong đó (P_1), (P_2) là hai parabol đối xứng trục với nhau qua trục đối xứng vuông góc với chiều dài của mảnh sân, (C) là đường tròn có tâm trùng với tâm của mảnh sân và lần lượt có duy nhất một điểm chung với các parabol đó (tham khảo hình vẽ, biết phần gạch đậm là phần lát gạch). Chi phí cho phần lát gạch là 240 nghìn đồng một mét vuông. Trong trường hợp hình tròn (C) có diện tích lớn nhất thì chi phí lát gạch là bao nhiêu triệu đồng? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Một mảnh sàn hình chữ nhật kích thước 14 \, \text{m} \times 12 \, \text{m}.

• Có hai parabol đối xứng trục vuông góc với chiều dài mảnh sàn.

• Một đường tròn tâm trùng tâm hình chữ nhật, tiếp xúc parabol tại duy nhất một điểm.

• Chi phí lát gạch là 240 nghìn đồng/m².

❓ Hiểu câu hỏi:

• Tìm diện tích phần hình tròn lớn nhất nằm gọn trong mảnh sàn và chỉ tiếp xúc mỗi parabol tại một điểm.

• Tính chi phí lát gạch phần trang trí là bao nhiêu triệu đồng.

🔎 Hướng dẫn cách làm:

Gọi đường tròn có phương trình: y = \sqrt{R^2 - x^2}

• Parabol (P_1) có đỉnh tại O(0;R), phương trình là: y = ax^2 + R với a < 0.

• Để (P_1) và đường tròn (C) có điểm chung duy nhất, giải phương trình: \sqrt{R^2 - x^2} = ax^2 + R

• Bình phương hai vế ta được: R^2 - x^2 = a^2x^4 + 2aRx^2 + R^2 \Rightarrow x^2(a^2x^2 + 2aR + 1) = 0

• Để có nghiệm duy nhất: -2aR - 1 \leq 0

• Với (P_1) đi qua điểm (6;-7), thay vào ta có: -7 = 36a + R \Rightarrow a = \frac{-7 - R}{36}

• Thay vào điều kiện trên: -2\left(\frac{-7 - R}{36}\right)R - 1 \leq 0 \Rightarrow R^2 + 7R - 18 \leq 0 \Rightarrow -9 \leq R \leq 2

• Suy ra: R = 2 là giá trị lớn nhất.

• Diện tích hình tròn: S_1 = \pi R^2 = 4\pi

• Với phương trình parabol: y = -\frac{1}{4}x^2 + 2, tìm diện tích phần giữa parabol và trục hoành từ x = \sqrt{8} đến x = 6: S_2 = \int_{\sqrt{8}}^6 \left(-\frac{1}{4}x^2 + 2\right) dx

• Kết quả: S_g = 4S_2 + S_1 \approx 51.65 \, \text{m}^2

• Chi phí lát gạch: 0.24 \cdot S_g = 0.24 \cdot 51.65 \approx 12.4 \, \text{triệu đồng}

✅ Đáp án: \boxed{12{,}4} (triệu đồng)