Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao h của mực cát bằng \dfrac{3}{4} chiều cao của bên đó. Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi 13,2 \text{cm}^3/\text{phút}. Khi chiều cao của cát còn 4 cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn có chu vi 8\pi cm. Biết sau 9 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu cm (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Khối ngoài là một hình trụ cao 2H và bán kính R.

• Trong hình trụ có hai phần đồng hồ cát đối xứng, mỗi phần là một hình có chiều cao H và bán kính đáy R.

• Lúc đầu, cát dồn hết phía trên, chiều cao mực cát là \displaystyle h_0 = \tfrac{3}{4}H.

• Lưu lượng cát chảy không đổi \displaystyle Q=13{,}2\;\text{cm}^3/\text{phút}.

• Khi chiều cao mực cát còn 4 cm thì bề mặt cát tạo thành đường tròn có chu vi 8\pi cm.

• Sau 9 phút, toàn bộ cát chảy hết xuống phần dưới.

❓ Hiểu câu hỏi:

• Tìm H (chiều cao mỗi nửa paraboloid), từ đó suy ra chiều cao hình trụ 2H.

• Áp dụng công thức thể tích paraboloid và quan hệ bán kính – chiều cao từ tiết diện ngang.

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Từ điều kiện chu vi đường tròn ở mực cát bằng 8\pi:

  2\pi r = 8\pi \;\Longrightarrow\; r=4\;\text{cm}.

  Nhưng khi mực cát cao y=4 thì parabol quay cho bán kính

  r = R\sqrt{\frac{y}{H}} = R\sqrt{\frac{4}{H}} \;\Longrightarrow\; R\sqrt{\frac{4}{H}}=4 \;\Longrightarrow\; R^2 = 4H.

• Thể tích phần cát độ cao y (từ đỉnh paraboloid) là

  V(y)=\int_0^y \pi [r(t)]^2\,dt = \int_0^y \pi R^2\frac{t}{H}\,dt = \frac{\pi R^2}{H}\,\frac{y^2}{2} = \frac{\pi R^2\,y^2}{2H}.

• Lúc đầu y_0=\tfrac{3}{4}H, nên

  V_0 = V\!\Bigl(\tfrac{3H}{4}\Bigr) = \frac{\pi R^2}{2H}\,\Bigl(\frac{3H}{4}\Bigr)^{2} = \frac{\pi R^2}{2H}\,\frac{9H^2}{16} = \frac{9}{32}\,\pi R^2H.

  Thay R^2=4H vào:

  V_0 = \frac{9}{32}\,\pi\,(4H)\,H = \frac{9}{8}\,\pi\,H^2.

• Theo lưu lượng, trong 9 phút toàn bộ cát (thể tích V_0) chảy hết:

  V_0 = Q\cdot 9 = 13{,}2\times 9 = 118{,}8\;\text{cm}^3. \quad\Longrightarrow\quad \frac{9}{8}\,\pi\,H^2 = 118{,}8 \;\Longrightarrow\; H^2 = \frac{118{,}8\cdot 8}{9\pi} = \frac{950{,}4}{9\pi} \approx 33{,}6 \;\Longrightarrow\; H\approx 5{,}80\;\text{cm}.

• Vậy chiều cao hình trụ

• 2H \approx 2\times 5{,}80 = 11{,}6\;\text{cm}

• làm tròn đến hàng phần chục (gần nhất) được 11,6 cm.

✅ Đáp án: 11,6 cm