Trong một trò chơi bốc thăm trúng thưởng, luật chơi như sau:

Trong một hộp có chứa 25 cái phiếu được đánh số từ 1 đến 25, người chơi được bốc thăm ngẫu nhiên 5 phiếu, nếu tổng bình phương các số trên phiếu bốc được là số chia hết cho 4 thì trúng thưởng. Bạn Hoa là người đầu tiên bốc thăm, xác suất để Hoa trúng thưởng là \frac{a}{b} (là phân số tối giản). Tính S = b - a.

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Hộp có 25 phiếu đánh số từ 1 đến 25.

• Bốc ngẫu nhiên 5 phiếu.

• Nếu tổng bình phương các số bốc được chia hết cho 4 thì trúng thưởng.

• Xác suất trúng thưởng của Hoa là \frac{a}{b} phân số tối giản, cần tính S = b - a.

❓ Hiểu câu hỏi:

• Tính xác suất để tổng \sum x_i^2 (với các x_i là các số bốc được) chia hết cho 4.

• Viết xác suất dưới dạng phân số tối giản \tfrac{a}{b}, rồi tìm S = b - a.

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Xét bình phương một số n theo mod 4:

  • Nếu n chẵn, n^2\equiv0\pmod4.

  • Nếu n lẻ, n^2\equiv1\pmod4.

• Trong 1…25 có 12 số chẵn và 13 số lẻ.

• Khi lấy 5 số, tổng các bình phương \bmod4 bằng số lượng số lẻ đã lấy (0 với mỗi số chẵn, 1 với mỗi số lẻ).

• Muốn tổng chia hết cho 4, số lẻ lấy được phải ≡0 mod 4, trong 5 số chỉ có thể lấy 0 hoặc 4 số lẻ:

  1. 0 số lẻ (5 số chẵn): \binom{12}{5}\cdot\binom{13}{0}.

  2. 4 số lẻ + 1 số chẵn: \binom{13}{4}\cdot\binom{12}{1}.

• Tổng số cách thuận lợi

  T = \binom{12}{5} + \binom{13}{4}\,\binom{12}{1} = 792 + 715\cdot12 = 9372.

• Tổng số cách chọn 5 từ 25: \binom{25}{5}=53130.

• Xác suất

  P = \frac{9372}{53130} = \frac{1562}{8855} = \frac{142}{805}\quad(\text{tối giản}).

• Với a=142, b=805 ta có S=b-a=805-142=663.

✅ Đáp án: 663