4
Câu 4
Ở trung tâm nghiên cứu X có một thiết bị được đặt trên một quả đồi thuộc vùng rừng núi để đo các thông số về thời tiết khí tượng của vùng đó (nhiệt độ, áp suất khí quyển, độ ẩm, mây, gió, mưa…). Cấu tạo bên ngoài của thiết bị gồm hai mặt cầu cắt nhau là (S_1) có tâm I, bán kính bằng 4m và mặt cầu (S_2) có tâm J, bán kính bằng 2m. Để đo các thông số cần thiết, người ta lắp đặt một tấm thiết bị điện tử hình chữ nhật (R) luôn tiếp xúc với cả hai mặt cầu (S_1), (S_2) và có thể di chuyển quanh các chỏm cầu để truyền tín hiệu tới hộp điều hành (đường truyền không dây). Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian với độ dài đơn vị trên mỗi trục tọa độ là 1m và O(0;0;0) là vị trí hộp điều hành thiết bị thì I(2;1;1) và J(2;1;5). Khi khoảng cách từ O đến tâm thiết bị điện tử (R) ngắn nhất là lúc đường truyền tín hiệu tốt nhất. Khoảng cách ngắn nhất này bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm, tham khảo mô tả thiết bị như hình trên).
Ở trung tâm nghiên cứu X có một thiết bị được đặt trên một quả đồi thuộc vùng rừng núi để đo các thông số về thời tiết khí tượng của vùng đó (nhiệt độ, áp suất khí quyển, độ ẩm, mây, gió, mưa…). Cấu tạo bên ngoài của thiết bị gồm hai mặt cầu cắt nhau là (S_1) có tâm I, bán kính bằng 4m và mặt cầu (S_2) có tâm J, bán kính bằng 2m. Để đo các thông số cần thiết, người ta lắp đặt một tấm thiết bị điện tử hình chữ nhật (R) luôn tiếp xúc với cả hai mặt cầu (S_1), (S_2) và có thể di chuyển quanh các chỏm cầu để truyền tín hiệu tới hộp điều hành (đường truyền không dây). Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian với độ dài đơn vị trên mỗi trục tọa độ là 1m và O(0;0;0) là vị trí hộp điều hành thiết bị thì I(2;1;1) và J(2;1;5). Khi khoảng cách từ O đến tâm thiết bị điện tử (R) ngắn nhất là lúc đường truyền tín hiệu tốt nhất. Khoảng cách ngắn nhất này bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm, tham khảo mô tả thiết bị như hình trên).
Your answer:2,56
Giải thích câu 4
Giải thích chi tiết
😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!
📃 Thông tin đề bài cho:
\overrightarrow{IJ} = (0;0;4) \Rightarrow IJ = 4 \Rightarrow J \in (I;4)
OI = \sqrt{6} < 4 \Rightarrow O nằm trong mặt cầu (S_1)
Bán kính mặt cầu (S_1) là 4m, bán kính mặt cầu (S_2) là 2m
Tâm hai mặt cầu I, J; thiết bị điện hình chữ nhật luôn tiếp xúc với hai mặt cầu
Tìm khoảng cách ngắn nhất từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng chứa thiết bị điện
❓ Hiểu câu hỏi:
Tìm khoảng cách ngắn nhất từ O đến mặt phẳng chứa thiết bị điện hình chữ nhật
Mặt phẳng chứa thiết bị luôn tiếp xúc hai mặt cầu tại M, N, tạo góc không đổi 30^\circ với đường thẳng AI
🔎 Hướng dẫn cách làm:
Do IM = 4 = 2JN \Rightarrow IM = 2JN \Rightarrow IM \parallel JN
Tam giác AIM, JN là đường trung bình \Rightarrow J là trung điểm AI \Rightarrow A(2;1;9)
Tính góc giữa IJ và MN: \sin \varphi = \frac{JN}{AJ} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = 30^\circ
Gọi mặt phẳng chứa thiết bị là (\alpha)
Tính góc giữa IJ và (\alpha) cũng là \varphi = 30^\circ
Dựng tam giác OAI với: \overrightarrow{AO} = (-2;-1;-9),\quad \overrightarrow{AI} = (0;0;-8) \cos \widehat{OAI} = \frac{9}{\sqrt{86}} \Rightarrow \widehat{OAI} \approx 13{,}95^\circ
Tính khoảng cách: d(O;(\alpha)) = OH = AO \cdot \sin \widehat{OAH} = \sqrt{86} \cdot \sin \widehat{OAH}
Dùng bất đẳng thức tam giác: \widehat{OAH} + \widehat{OAI} \ge \widehat{MAI} = 30^\circ \Rightarrow \widehat{OAH} \ge 30^\circ - 13{,}95^\circ = 16{,}05^\circ
Suy ra: d(O;(\alpha)) \ge \sqrt{86} \cdot \sin 16{,}05^\circ \approx 2{,}56
✅ Đáp án: 2,56