Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x^2 + 3, trục hoành và hai đường thẳng x = -1, \, x = 3. Khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích bằng

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Hàm số: y = x^2 + 3

• Vùng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số, trục hoành Ox và hai đường thẳng x = -1, x = 3

• Hình vẽ mô tả parabol y = x^2+3 và vùng nằm giữa hai đường thẳng đứng x=-1 và x=3

• Vùng (H) được quay quanh trục Ox để tạo khối tròn xoay

❓ Hiểu câu hỏi:

• Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay vùng (H) quanh trục Ox

• Áp dụng công thức mặt cắt ngang/đĩa: V = \pi \int_{a}^{b} [y]^2 \,dx

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Xác định cận và hàm số: a = -1,\quad b = 3,\quad y = x^2+3

• Viết công thức thể tích: V = \pi \int_{-1}^{3} (x^2+3)^2 \,dx

• Khai triển: (x^2+3)^2 = x^4 + 6x^2 + 9

• Tính nguyên hàm: \int (x^4+6x^2+9)\,dx = \frac{x^5}{5} + 2x^3 + 9x + C

• Đánh giá giá trị nguyên hàm từ -1 đến 3:

  • Tại x=3: \frac{3^5}{5} + 2\cdot3^3 + 9\cdot3 = \frac{243}{5} + 54 + 27 = \frac{648}{5}

  • Tại x=-1: \frac{(-1)^5}{5} + 2\cdot(-1)^3 + 9\cdot(-1) = -\frac{1}{5} -2 -9 = -\frac{56}{5}

  • Hiệu số: \frac{648}{5} - \Bigl(-\frac{56}{5}\Bigr) = \frac{704}{5}

• Nhân với \pi để được thể tích: V = \pi \cdot \frac{704}{5} = \frac{704\pi}{5}

✅ Đáp án: \frac{704\pi}{5}

❌ Các đáp án khác:

• A. \tfrac{64}{3}: Sai vì không có nhân với \pi và giá trị tích phân sai.

• B. \tfrac{64\pi}{3}: Sai do tích phân cho \tfrac{704}{5}, không phải \tfrac{64}{3}.

• C. \tfrac{704}{5}: Sai vì thiếu nhân với \pi.