Một nhà máy sản xuất và bán (x) sản phẩm trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất x sản phẩm được cho bởi công thức C = 10000 + 600x - 0{,}6x^2 + 0{,}004x^3(nghìn đồng). Biết rằng giá bán của mỗi sản phẩm là p = 1800 - 6x(nghìn đồng). Hỏi mỗi tháng nhà máy nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!

📃 Thông tin đề bài cho:

• Nhà máy sản xuất và bán x sản phẩm mỗi tháng.

• Hàm chi phí (nghìn đồng): C(x)=10000+600x-0{,}6x^2+0{,}004x^3.

• Giá bán mỗi sản phẩm (nghìn đồng): p(x)=1800-6x.

❓ Hiểu câu hỏi:

• Câu hỏi yêu cầu tìm số sản phẩm x để lợi nhuận hàng tháng của nhà máy là lớn nhất.

• Cần áp dụng các khái niệm: doanh thu, lợi nhuận, và dùng đạo hàm để tìm cực trị của hàm lợi nhuận.

🔎 Hướng dẫn cách làm:

• Tính doanh thu: R(x)=x\cdot p(x)=x(1800-6x)=1800x-6x^2.

• Viết hàm lợi nhuận (nghìn đồng): \Pi(x)=R(x)-C(x)=\big(1800x-6x^2\big)-\big(10000+600x-0{,}6x^2+0{,}004x^3\big). Rút gọn: \Pi(x)=-0{,}004x^3-5{,}4x^2+1200x-10000.

• Tìm đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0: \Pi'(x)=-0{,}012x^2-10{,}8x+1200=0. Nhân cả hai vế với -1 rồi 1000 để loại thập phân: 0{,}012x^2+10{,}8x-1200=0\quad\Longrightarrow\quad 12x^2+10800x-1200000=0. Chia cho 12: x^2+900x-100000=0. Giải phương trình: x=\frac{-900\pm\sqrt{900^2+4\cdot100000}}{2}=\frac{-900\pm1100}{2}. Ta có hai nghiệm: x=100\quad\text{và}\quad x=-1000\ (\text{loại}).

• Kiểm tra là cực đại: \Pi''(x)=-0{,}024x-10{,}8\Rightarrow \Pi''(100)=-13{,}2<0, nên x=100 là điểm cho lợi nhuận cực đại.

✅ Đáp án: 100 sản phẩm