Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán Sở GD&ĐT Cao Bằng năm 2026 - Lần 1

Cho một hình bát giác đều ABCDEFGH nội tiếp trong một đường tròn tâm O như hình bên. Gắn ngẫu nhiên tám số tự nhiên \{9;10;11;12;13;14;15;16\} vào tám đỉnh của bát giác đều này (mỗi số gắn đúng một đỉnh). Chọn ngẫu nhiên một tam giác có ba đỉnh lấy từ tám đỉnh của bát giác đã cho. Gọi xác suất để thu được một tam giác vuông với ba số trên ba đỉnh của tam giác (theo một thứ tự nào đó) lập thành một cấp số cộng là \dfrac{m}{n} (m,n\in\mathbb{N}^*,\dfrac{m}{n} là phân số tối giản). Giá trị của m+n bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác SBD là tam giác đều, SA=a\sqrt{2}. Thể tích của khối chóp S.ABCD là V_{S.ABCD}=\dfrac{m\sqrt{2}a^3}{n} (m,n\in\mathbb{N}^*,\dfrac{m}{n} là phân số tối giản). Giá trị m+2026n bằng bao nhiêu?

Trong giải cờ vua giao hữu tại một trường THPT chào mừng ngày thành lập Đoàn 26/3, các vận động viên nam và nữ cùng tham gia thi đấu. Để đảm bảo tính công bằng, giúp mỗi kì thủ đều được cầm quân Trắng và quân Đen khi đối đầu với các đối thủ khác thì Ban tổ chức quy định thể thức thi đấu vòng tròn hai lượt, tức là mỗi cặp vận động viên sẽ thi đấu với nhau đúng 2 ván. Biết rằng giải chỉ có 2 vận động viên nữ tham gia. Sau khi kết thúc giải, Ban tổ chức thống kê được số ván các vận động viên nam thi đấu với nhau nhiều hơn số ván họ thi đấu với các vận động viên nữ là 66 ván. Hỏi tổng số ván mà tất cả các vận động viên đã thi đấu là bao nhiêu?

Một doanh nghiệp dự định sản xuất x sản phẩm trong một tháng \left(x\in\mathbb{N};100\le x\le 800\right). Tổng doanh thu khi bán hết x sản phẩm đó là F(x)=-0{,}001x^3+0{,}6x^2+500x+100000 (nghìn đồng). Chi phí (điện, khấu hao máy, lương công nhân, ...) để sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm là G(x)=0{,}0002x^2+\dfrac{40000}{x} (nghìn đồng) và chi phí để mua nguyên vật liệu khi chưa triết khấu là H(x)=-\dfrac{4}{49}x^2+\dfrac{750}{49}x+\dfrac{1500000}{49} (nghìn đồng). Công ty cung cấp nguyên vật liệu đang chạy chương trình khuyến mại nhân dịp kỉ niệm thành lập công ty nên giảm 2\% tổng tiền mua nguyên vật liệu cho doanh nghiệp đó. Trong một tháng, doanh nghiệp đó cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Trong bản thiết kế của dự án lắp đặt đường dây điện cho vùng núi tỉnh A, các kĩ sư dự kiến xây dựng các trụ điện cao 120\ \mathrm{m}. Để giữ thăng bằng cho trụ điện, hệ thống dây cáp được nối từ đỉnh trụ S xuống mặt đất giả định tại các điểm A,B,C trên mặt phẳng nằm ngang sao cho S.ABC là hình chóp tam giác đều, khoảng cách từ chân trụ đến các điểm A,B,C bằng 40\sqrt{3}\ \mathrm{m}. Tuy nhiên, do địa hình thực tế là sườn núi dốc 10^\circ so với mặt phẳng nằm ngang nên vị trí tiếp đất thực tế của dây cáp sẽ tại A,B',C' (BB',CC' song song với thân trụ điện, tham khảo hình vẽ). Chọn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét) với O trùng với chân trụ điện, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt phẳng thiết kế nằm ngang, điểm A thuộc tia Oy, trục Oz hướng lên trên. Khi đó, tọa độ điểm B'(x_B;y_B;z_B),\ C'(x_C;y_C;z_C). Giá trị |z_B-z_C| bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Một vật thể dùng để trang trí nội thất có dạng như hình (H1) bên dưới. Đây là một khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (R) (phần gạch chéo trong hình (H2)) quanh trục AB. Hình phẳng (R) được giới hạn bởi các cạnh AB,AD của hình vuông ABCD tâm I, độ dài cạnh 4\ \mathrm{cm} và các cung phần tư DI,IB của các đường tròn bán kính bằng 2\ \mathrm{cm} với tâm lần lượt là trung điểm của các cạnh AD,AB. Thể tích của vật thể (H1) bằng bao nhiêu centimét khối (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần chục)?