Đáp án & giải thích đề môn Toán k12
Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc năm 2025 Lần 1 - Mã đề 104
DOL THPT
Apr 02, 2026
Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc năm 2025 Lần 1 - Mã đề 104 được xây dựng dưới mô hình thi thử trắc nghiệm online, giúp bạn nắm rõ format đề thi. Hệ thống chấm điểm tự động sau khi bạn làm xong bài, đồng thời lưu quá trình làm bài để bạn dễ theo dõi tiến độ luyện thi, đi kèm đáp án giải thích rõ ràng và tải file PDF đề thi HOÀN TOÀN MIỄN PHÍ.
Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc năm 2025 Lần 1 - Mã đề 104
Download PDF
Miễn phí dowload
Câu hỏi đề bài
22 Câu hỏi
Phần I
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .
Cho mẫu số liệu về cân nặng của 58 học sinh như sau. Trung vị mẫu số liệu là
M_e = 65.
M_e = 66{,}4.
M_e = 60.
M_e = 60{,}8.
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có bảng xét dấu của f'(x) như hình dưới đây. Hàm số y = f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?
1
0
2
3
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [0;3] và có đồ thị như hình vẽ sau. Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [0;3] bằng
2
5
3
1
Tập xác định của hàm số y = \ln(x - 4) là
[4; +\infty)
(-\infty; +\infty)
(-\infty; 4)
(4; +\infty)
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = (1;-2;3) và \overrightarrow{v} = (5;4;-1). Tọa độ của vectơ \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} là
\vec{u} - \vec{v} = (4; 6; -4).
\vec{u} - \vec{v} = (4; 6; 4).
\vec{u} - \vec{v} = (-4; -6; 4).
\vec{u} - \vec{v} = (-4; -6; -4).
Cho tứ diện ABCD. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB}
\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC}
\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DB} - \overrightarrow{CB}
\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CA}
Biết đồ thị hàm số y = f(x) có dạng như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
f(x) = -x^3 - 3x - 1
f(x) = -x^3 + 3x + 1
f(x) = x^3 + 3x - 1
f(x) = -x^3 + 3x - 1
Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi từ một hộp có 10 viên bi (gồm 6 bi xanh và 4 bi đỏ), xác suất chọn được 2 viên bi màu đỏ là
\dfrac{2}{3}
\dfrac{1}{5}
\dfrac{2}{15}
\dfrac{2}{5}
Tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = \dfrac{2x - 2025}{x - 1}
y = 2
x = 2
y = 1
x = 1
Cho hàm số f(x) liên tục trên \mathbb{R} có đạo hàm f'(x) = (x + 1)(x - 5). Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
(5; +\infty)
(−1; +\infty)
(−\infty; 5)
(−1; 5)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 3a. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng
\dfrac{a^3}{4}
6a^3
2a^3
\dfrac{3a^3}{4}
Giới hạn \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x - 3}{1 - 3x} bằng
2
\dfrac{2}{3}
1
{-}\dfrac{2}{3}
Phần II
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Hệ thống cáp treo gồm hai trụ lớn và một đường cáp nối thẳng giữa hai trụ đó (coi như độ cong không đáng kể), được đặt trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Một cabin cáp treo xuất phát từ điểm O(0;0;0) thuộc trụ thứ nhất và chuyển động thẳng đều theo đường cáp đến điểm A(896;2025;189) thuộc trụ thứ hai với tốc độ là 7{,}4 (m/s) (đơn vị trên mỗi trục là mét).
Phát biểu
Đúng
Sai
a
Độ dài đường cáp xấp xỉ bằng 2222m (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
b
Trên đường cáp có điểm B với hoành độ x_B = 672, khi đó thời gian để cabin đi từ điểm B đến điểm A xấp xỉ là 80 giây (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
c
Có một khu vui chơi phía dưới cáp treo nằm trong mặt phẳng (Oxy) với điểm trung tâm có tọa độ (750{,}5; 1497{,}25; 0). Biết rằng từ trong cabin cáp treo có thể ngắm nhìn toàn cảnh khu vui chơi rõ nhất tại vị trí điểm M(x_0; y_0; z_0) cách trung tâm khu vui chơi một khoảng ngắn nhất. Khi đó, ta có x_0 + y_0 + z_0 = 2335{,}5.
d
Điểm chính giữa của đường cáp có tọa độ là (448; 1012{,}5; 94{,}5).
Một cửa hàng bán vải thiều Bắc Giang với giá bán là 30000 đồng/1 kg. Giá nhập vào là 16000 đồng/1 kg. Với giá này cửa hàng ước chừng bán được 100 kg/1 ngày. Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính cứ giảm 1000 đồng/1 kg thì số vải thiều bán được sẽ tăng thêm là 10 kg.
Phát biểu
Đúng
Sai
a
Lợi nhuận tối đa theo ngày của cửa hàng là 1440000 đồng.
b
Nếu giữ nguyên giá ban đầu, lợi nhuận theo ngày của cửa hàng là 1500000 đồng.
c
Nếu giá bán là 20000 đồng/1 kg, khi đó cửa hàng bán được 250 kg/1 ngày.
d
Nếu giá bán là 25000 đồng/1 kg, khi đó lợi nhuận theo ngày của cửa hàng là 1350000 đồng.
Một bác tài xế thống kê lại độ dài quãng đường bác đã lái xe mỗi ngày trong một tháng ở bảng sau:
Phát biểu
Đúng
Sai
a
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là 250 (km).
b
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm bằng 55,68 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
c
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là 145.
d
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm bằng 79,17 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Cho hàm số f(x) = 4x - \log_2(x + 1).
Phát biểu
Đúng
Sai
a
Đạo hàm của hàm số f(x) là f'(x) = 4 - \dfrac{1}{(x + 1)\ln 2}, \forall x \in (-1; +\infty)
b
Giá trị của hàm số f(x) tại điểm x = 1 là f(1) = 4.
c
Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (0; +\infty).
d
Hàm số f(x) có hai điểm cực trị.
Phần III
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6
Một khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 1 và thể tích bằng \frac{2}{3}. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD, trên các cạnh AB, SD lần lượt lấy các điểm E, F sao cho EF \parallel BG. Khoảng cách giữa hai đường thẳng DG và EF bằng \dfrac{m}{n} với m,n nguyên dương và \dfrac{m}{n} là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức T=2m-n.
Một xí nghiệp may áo vest và quần âu để chuẩn bị cho dịp cuối năm. Biết may 1 áo vest hết 2\,\text{m} vải và cần 20 giờ; may 1 quần âu hết 1{,}5\,\text{m} vải và cần 5 giờ. Xí nghiệp được giao sử dụng không quá 930\,\text{m} vải và số giờ công không vượt quá 6300 giờ. Theo khảo sát thị trường, số lượng quần âu bán ra không hơn số lượng áo vest bán ra và số lượng quần âu bán ra không vượt quá 2 lần số lượng áo vest bán ra. Khi xuất ra thị trường, 1 chiếc áo vest lãi 350 nghìn đồng, 1 chiếc quần âu lãi 100 nghìn đồng. Gọi x, y lần lượt là số áo vest và quần âu xí nghiệp cần may và bán ra thị trường để xí nghiệp có số tiền lãi cao nhất. Tính giá trị biểu thức T = 2x + 3y.
Một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông cạnh x\,(\text{cm}) và chiều cao h\,(\text{cm}). Biết tổng diện tích các bề mặt của chiếc hộp bằng 192\,\text{cm}^2. Tìm x để chiếc hộp có thể tích lớn nhất?
Một công ty kinh doanh dịch vụ nghỉ dưỡng nhận thấy rằng: Nếu áp dụng mức giá 4 triệu đồng/người/ngày thì mỗi tháng có 180 khách đến nghỉ và mỗi khách sẽ nghỉ 11 ngày. Nếu cứ tăng giá thêm 500 nghìn đồng/người/ngày thì hàng tháng số khách đến nghỉ sẽ giảm đi 8 người và thời gian lưu trú của mỗi người khách cũng giảm đi 4 ngày. Ngược lại, nếu cứ giảm giá 500 nghìn đồng/người/ngày thì hàng tháng số khách đến nghỉ sẽ tăng thêm 8 người và thời gian lưu trú của mỗi người khách cũng tăng thêm 4 ngày. Hỏi công ty cần áp dụng mức giá bao nhiêu triệu đồng/ người/ ngày để lợi nhuận hàng tháng thu được là lớn nhất, biết tổng chi phí công ty phải chi cho một ngày lưu trú của mỗi người khách là 3 triệu đồng và Sở du lịch không cho công ty thu vượt quá 10 triệu đồng/người/ngày (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Cho \tan \alpha = \dfrac{2}{3}. Giá trị của biểu thức A = \dfrac{5 \sin \alpha - 3 \cos \alpha}{7 \sin \alpha + 2 \cos \alpha} bằng \dfrac{a}{b} \,\, (\text{với } a, b \in \mathbb{N};\, b \ne 0,\, \dfrac{a}{b} \text{ là phân số tối giản}). Tính giá trị biểu thức T = 100(a + b).
Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC biết: A(1; -1; 2),\, B(-2; 0; 3),\, C(0; 1; -2). Gọi M(a; b; c) là điểm thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho biểu thức S = \overline{MA} \cdot \overline{MB} + \overline{MB} \cdot \overline{MC} + 6 \overline{MC} \cdot \overline{MA} đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị T = 16a + 16b - 2c.
Xem đáp án và bài mẫu
Answer key
Cho mẫu số liệu về cân nặng của 58 học sinh như sau. Trung vị mẫu số liệu là
M_e = 65.
M_e = 66{,}4.
M_e = 60.
M_e = 60{,}8.
Giải thích câu 1
Giải thích chi tiết
😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!
📃 Thông tin đề bài cho:
Bảng tần số phân phối cân nặng (kg) của 58 học sinh theo các lớp:
[40;50): 5 học sinh
[50;60): 8 học sinh
[60;70): 25 học sinh
[70;80): 20 học sinh
Tổng số học sinh: 58
❓ Hiểu câu hỏi:
Yêu cầu tính trung vị của dữ liệu nhóm.
Cần áp dụng công thức trung vị cho bảng tần số lớp.
🔎 Hướng dẫn cách làm:
Tính tần số tích lũy theo lớp:
Lớp [40;50): F_1 = 5
Lớp [50;60): F_2 = 5 + 8 = 13
Lớp [60;70): F_3 = 13 + 25 = 38
Lớp [70;80): F_4 = 38 + 20 = 58
Xác định vị trí trung vị: \frac{n}{2} = \frac{58}{2} = 29. Lớp có tần số tích lũy đầu tiên vượt 29 là [60;70), do F_2 = 13 < 29 < F_3 = 38.
Áp dụng công thức trung vị cho bảng tần số nhóm: M_e = L + \frac{\frac{n}{2} - F}{f}\times h Trong đó
L = 60 (giới hạn dưới của lớp trung vị)
F = 13 (tần số tích lũy trước lớp trung vị)
f = 25 (tần số lớp trung vị)
h = 10 (độ rộng lớp)
Thay số vào: M_e = 60 + \frac{29 - 13}{25}\times 10 = 60 + \frac{16}{25}\times 10 = 60 + 6{,}4 = 66{,}4.
✅ Đáp án: M_e = 66{,}4
❌ Các đáp án khác:
A. 65: Sai vì chưa cộng phần bù trong lớp (giữa 60 và 70), chỉ lấy trung điểm thô.
C. 60: Sai vì chỉ bằng giới hạn dưới của lớp trung vị, không tính phần tần số đã vượt \frac{n}{2} .
D. 60{,}8: Sai do nhầm lẫn khi tính tỉ số \frac{29 - 13}{25}, kết quả cộng thêm không đúng.
Hiện bạn đang luyện đề THPTQG Môn Toán thuộc chuyên mục luyện thi THPT Quốc gia. Để tiếp tục rèn luyện với nhiều đề thi khác, bạn học có thể tham khảo các đề thi liên quan trực tiếp khác bên dưới.
