Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Cụm Cẩm Khê – Yên Lập Sở GD&ĐT Phú Thọ năm 2025

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai lớp kính lần lượt là hai mặt phẳng có phương trình là \begin {cases}(\alpha): 2x - 2y - z + 3\sqrt{3} = 0 \\ (\beta): -4x + 4y + 2z + 12\sqrt{3} = 0 \end {cases}. Một nguồn sáng được chiếu vào hai tấm kính là tập hợp các đường thẳng có vectơ chỉ phương là \vec{u} = (1; 1; 1) và đi qua các điểm M(3; 0; 0), N(1; 1; 1) và P(3; 5; -5). Biết rằng các giao điểm của các đường thẳng nói trên với hai tấm kính (\alpha) và (\beta) là 6 đỉnh của một khối đa diện. Thể tích V của khối đa diện tạo bởi 6 đỉnh đó có kết quả là a\sqrt{b} với a, b nguyên dương và b là số nguyên tố. Tính giá trị của a + b.

Một trò chơi diễn tự quy định như sau: Có sáu trụ A, B, C, D, E, F với số lượng các thử thách trên đường đi giữa các cặp trụ được mô tả như trong hình vẽ. Người chơi xuất phát từ một trụ nào đó, đi qua tất cả các trụ còn lại, mỗi khi đi qua một trụ thì trụ đó sẽ bị phá hủy và không thể quay trở lại trụ đó được nữa, nhưng người chơi vẫn phải trở về trụ ban đầu. Tổng số thử thách của đường đi thỏa mãn điều kiện trên nhận giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Có hai hộp. Hộp I có 7 quả cầu màu xanh và còn lại là quả cầu màu vàng. Hộp II có 8 quả cầu màu xanh và 5 quả cầu màu vàng. Trước tiên lấy ra ngẫu nhiên một quả cầu từ hộp I rồi thả vào hộp II. Sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên một quả cầu từ hộp II. Xác suất để quả cầu lấy ra là quả màu vàng là \dfrac{95}{238}. Tính số quả cầu trong hộp I.

Trước sự phát triển của ngành vật liệu bán dẫn, anh Khoa mở nhà máy sản xuất vi mạch với thiết kế của vi mạch có dạng hình chữ nhật có kích thước a\,(pm) \times b\,(pm) với 1pm = 10^{-12}\,m. Biết rằng chi phí để sản xuất vi mạch bao gồm 50 (triệu đồng) chi phí cho nguyên vật liệu ban đầu, 15 (triệu đồng)/pm chi phí gia công lắp màng Silic xung quanh thành vi mạch (xem như độ dày khi gia công là không đáng kể) và 32 (triệu đồng)/pm^2 tiền gia công phủ chất làm mát bao quanh cả 2 bề mặt vi mạch (xem như cả bề mặt là hình chữ nhật có kích thước như trên). Biết rằng đơn giá bán ra mỗi chiếc vi mạch là 428 (triệu đồng)/pm^2 và nếu cả 2 kích thước thành phần của vi mạch giảm đi 15 pm thì lợi nhuận thu được từ mỗi chiếc bằng chi phí sản xuất mỗi chiếc vi mạch đó. Khi lợi nhuận đạt giá trị nhỏ nhất thì các kích thước của vi mạch là bao nhiêu pm. (Kết quả làm tròn đến số thập phân thứ nhất).

Để trang trí một ô hình chữ nhật với kích thước 80cm \times 60cm trên tường căn phòng của mình, anh Bình đã tô màu 2 hoạ tiết giới hạn bởi các parabol (P), (C) và các cạnh của ô chữ nhật bằng màu vàng (kí hiệu sọc nghiêng) và màu xanh (vùng tô đậm) (như hình vẽ). Biết rằng các parabol (P) và (C) đối xứng nhau qua đường thẳng AB và diện tích phần màu vàng bằng \dfrac{1600}{3} (cm^2). Tính tổng số tiền (đơn vị: triệu đồng) mà anh Bình cần phải trả để mua sơn trang trí. Biết mỗi lọ sơn, sơn được tối đa 30cm^2. Cho biết giá của một lọ sơn vàng là 50.000 đồng, giá của một lọ sơn xanh là 30.000 đồng (biết rằng mỗi lọ sơn không được bán lẻ).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Biết hai mặt phẳng (SDM) và (SCN) cùng vuông góc với mp(ABCD), đồng thời khoảng cách giữa DM và SC bằng \dfrac{12}{7}. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng bao nhiêu?